高校物理の交流回路を攻略したい。

サトゥー

こんにちは。理系東大生ブロガーのサトゥーです。

 

僕が覚えている範囲で、高校物理の交流分野をまとめていきます。

 

交流回路について

交流はクソ!!

高校物理の交流といえば、電磁気の最後の方にひょこっと出てきては多くの受験生を地獄の底へと叩き落としがちな分野ですね。

毎年交流分野が理解できなくて物理が嫌いになる高校生が大量発生します。多分ちょうど記事を書いてるこの時期とか。

 

こんなツイートがわんさか出てきがちですね↓

 

基本的には物理における微積分の考え方を理解している人なら、ポイントさえしっかり抑えれば大抵の問題は楽にクリアできるようになります。

 

ということで、今回は交流回路のメインテーマになりがちな「共振」の部分に特に焦点を当てながら、高校までの数理系の知識でしっかり理解できるように、基本的な部分から説明していこうと思います。

 

サトゥー
ちなみにですが、東大に入ると「基礎物理実験」というしんどい授業で今回扱う共振のテーマの実験をやります。ここで理解しておけば楽ちんですね。

 

交流分野が苦手な方は多いですが、基本的なところをしっかり押さえておけばだいたい直流の場合と同じです。

ということで、この記事が皆さんの頭の中を整理するきっかけになれれば、的な意気込みで書いていきます。

 

 

基本事項

 

先に言っておきますが、高校物理では基本的に正弦波交流を扱います。多分。

\displaystyle v=v_0 \sin{\omega t + \alpha}

の形で表されるようなものしか扱いませんよーって話です。

 

 

サトゥー
こういう波はやりません。

 

 

抵抗・コンデンサー・コイル

 

サトゥー
さてさて、前置きが長くなってしまいましたがここからです。

 

まずは、それぞれの回路素子の特徴を見ていきます。

やることは同じです。

直流で今まで習ったような回路の式を立てて、そこから式変形をして特徴を読み取るんです。

 

抵抗

まずは抵抗です。以下のような回路を考えてみます。

\displaystyle v=v_0 \sin{\omega t}

とします。以下、指定のない限りずっとそうです。

\displaystyle Rは抵抗、\displaystyle i_Rは抵抗を流れる電流です。この場合は回路を流れる電流と考えていいですね。

 

ここから\displaystyle i_Rを求めてみましょう。すると何がわかりますか?

サトゥー
はいこんな感じ。

 

ここでわかった結論は、

 

ポイント
\displaystyle i_R\displaystyle vと同位相である

 

ということです。位相ってのは簡単にいってしまえばsin,cosの中身です。

サトゥー
これ、後々重要になってくるのでメモしといてね。

 

実効値

次に、実効値を求めてみましょう。よく出るので整理しときます。

実効値については、このサイトにわかりやすく記載されていますので、ぜひご覧ください。

http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/elec/kouryuu/jikkouti.html

実効値というのは、抵抗器に交流を流したときに消費される電力が平均値をとる瞬間の電圧や電流の値のことです。

 

サトゥー
「100Vの交流電流」とかいうときの100Vは実効値のことですね

 

 

インピーダンス
サトゥー
インピーダンスってなんだよ

 

って話になると思うんですが、インピーダンスというのは抵抗みたいなやつだと思ってください。

「抵抗みたいなやつ」って言ったのは、まぁ色々理由がありまして、、

抵抗みたいに電圧と電流に位相差がない場合はインピーダンスは抵抗として考えてもらっていいんですが、これからみていくコイルやコンデンサーのように位相差がある場合は、いろいろ話が複雑になってくるんですね。。

 

普通は複素インピーダンスなんて呼んで、複素数使って表したりするんですが、今回は理解することがメインなので、ベクトル図を使ってイメージの説明をします。複素数は無視します。

 

サトゥー
結局、インピーダンスは抵抗みたいなやつです。電圧と電流の比とでも押さえておいてください。

 

さてさて、インピーダンスを求めてみましょう。

 

こんな感じ。

ベクトル図を下に書いておきましたが、位相のずれを表していると思ってください。

 

今回だと、\displaystyle i_R\displaystyle vと同位相なので、ベクトルが同じ向きを向いていますね。

 

 

エネルギー収支

回路のエネルギー収支もみておきます。

てな感じで。

 

 

 

ここまではみなさんの知ってることがほとんどだったと思いますし、

なんでわざわざベクトル図なんて書いたの?

状態だと思います。

 

これは、以降のコンデンサーやコイルをみていくうえで比較対象にして、わかりやすくするためです。

ということで、みなさんが飽きないうちにコンデンサーに行きますね。

 

コンデンサー

サトゥー
はい。じゃあ今からコンデンサーの特性をみていきます。

 

基本的には同じです。

こんな感じで回路方程式を立てて、式変形をしていきます。

 

サトゥー
電流が電荷の時間微分っていうのは大丈夫かな?電荷の単位時間あたりの変化量が電流って考えれば当たり前だよね。というか電流の定義かな?

 

ごくごく短い時間 dt に流れる電荷量を dQ とすると次のように表される。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%BB%E6%B5%81#%E7%89%A9%E7%90%86

 

これをごちゃごちゃいじってあげると。。。

 

こんな感じでOKかな?

 

あ、sinとcosは基本的に微分すると位相が \displaystyle \frac{\pi}{2} 進みます。

 

というわけで、ここでもポイント整理。

 

ポイント
\displaystyle i_C\displaystyle v_Cより位相が \displaystyle \frac{\pi}{2} 進む

 

さてさて、ここからは同様に実効値、インピーダンス、ベクトル図、エネルギー収支まで一気に見ていきましょう。

ベクトル図を見てください。\displaystyle \frac{\pi}{2} の遅れがわかりますよね?

 

サトゥー
あ、一番下の行のpの上に棒ついてるやつは、「pの時間平均をとってますよー」っていう意味です。

 

 

補足
サトゥー
さて、いくつかここで補足事項。

 

インピーダンス\displaystyle Z_Cが、\displaystyle Z_C = \frac{1}{\omega C}と表されるということは…

\displaystyle \omegaが大きい方が\displaystyle Z_Cは小さくなるので、

 

コンデンサーは高周波の交流を電流として通しやすいことがわかります。

 

この性質を利用すると、「高域透過フィルター(ハイパスフィルター)」なんてのが作れますね。

名前のまんま、周波数が高いものを透過するようなフィルターです。

サトゥー
高域透過フィルターは東大の実験でやったなぁ

まぁ、こんな感じで簡単に波形の加工ができてしまうんですね。こういった分野に交流が応用されていくわけです。

 

次に、消費電力を見てください。コンデンサの消費電力は0となっています。

計算すればわかりますが、\displaystyle pは0を中心に振動するので、時間平均をとればトータルでは0になります。

交流を流したコンデンサーでは電力は消費されない、つまりジュール熱は発生しません。

ポイント
交流を流したコンデンサーでは電力は消費されない。

 

さてさて、このことから、

インピーダンス\displaystyle Z_Cは、実質上のエネルギー消費をうまないインピーダンスの成分であると言えます。(あえて「成分」と呼びました)

これをリアクタンスと呼びます。

リアクタンス(英: reactance)とは、交流回路のインダクタ(コイル)やキャパシタ(コンデンサ)における電圧と電流の比である。

リアクタンスは電気抵抗と同じ次元を持ち、単位としてはオームを持つが、リアクタンスはエネルギーを消費しない擬似的な抵抗である。誘導抵抗感応抵抗ともいう。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%82%B9

 

特に、\displaystyle Z_C = \frac{1}{\omega C}を容量リアクタンスと呼びます。

 

サトゥー
実は内積が消費電力になってるんですね。

 

成分といったのはそのためです。\displaystyle vに直交する成分をリアクタンスと呼ぶんですね。

 

サトゥー
なんか、なんとなくわかってきた?ベクトル図、使えそうでしょ?

 

コイル

サトゥー
さて、最後にコイルを見ていきましょう。

こんな感じで、同様に式変形をしていきます。

 

エネルギー収支まで一気にやりますね。

 

こんな感じ。

ほら、ベクトル図見て。位相がズレてますね?

ポイント
\displaystyle i_L\displaystyle v_Lより位相が\displaystyle \frac{\pi}{2}遅れる

 

補足
サトゥー
同様に何点か補足します。

 

まず、上の方の\displaystyle i_Lの式。右辺の最後の項に(定数)と書いてあり、「0としてよい」とかゆうてますけども。

これは、回路の微小抵抗の影響です。積分定数で出てきてしまうので書いときましたが、理想的なコイルの場合は0とみなしてOKです。

 

はい次。

インピーダンス\displaystyle Z_Lが、\displaystyle Z_L = \omega Lと表されるということは…

\displaystyle \omegaが小さい方が\displaystyle Z_Lは小さくなるので、

コイルは低周波の交流を電流として通しやすいことがわかります。

 

お、コンデンサーの逆ですね。

サトゥー
ということは、コンデンサーとコイルを組み合わせれば自由自在に加工ができるのでは…?

みたいな。

 

エネルギー収支を見てください。

コイルの消費電力も0ですね。

ポイント
交流を流したコイルでは電力は消費されない。

その証拠に、ベクトル図は直交してますよね?内積0、つまり消費電力0です。

\displaystyle Z_L = \omega Lを誘導リアクタンスと呼びます。

 

 

ここまで整理!

サトゥー
お疲れ様でした。一回整理しましょっか。

 

 

サトゥー

なんか結構脱線しちゃった気がするので、この辺でいったん整理してみました。

次は共振現象を見ていきましょう。超重要、超頻出です。

 

 

共振現象

 

サトゥー
一番簡単で、一番よく使われるLC共振回路を見ていきます

 

これが理解できていれば、あとは基本的に今までの知識の応用でなんとかなります。

 

共振現象とは、ある振動数において回路の電流が最大になったり最小になったりするようなことだとイメージしておいてください。容量リアクタンスと誘導リアクタンスが等しい時に起こります。

基本的に振動数が大きくなるにつれて、容量リアクタンスは小さく、誘導リアクタンスは大きくなっていきますから、ある振動数において2つの大きさが一致します。

この時、それぞれが位相 \displaystyle \frac{\pi}{2} ずつズレているので、結果的にベクトルが打ち消し合います。このようにして共振現象は起こるのだ、と捉えておいてください。

 

サトゥー
次の2パターンと、それぞれの場合の性質をおさえてください。

 

パターン1:LC直列

先ほどもいったように、コンデンサーとコイルは逆向きに位相が \displaystyle \frac{\pi}{2} ずつズレています。

LC直列回路では、ある位相の電流に対して、コンデンサーとコイルのそれぞれにかかる電圧の位相は逆位相になっています。

 

よって、この大きさが等しいタイミング、つまり

\displaystyle Z_C = Z_L

\displaystyle \frac{1}{\omega C} = \omega L

よって、

\displaystyle \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}のとき、LC全体の電圧\displaystyle vは恒等的に0となります。

 

パターン2:LC並列

LC並列回路では、ある位相の電圧に対して、コンデンサーとコイルのそれぞれに流れる電流の位相は逆位相になっています。

 

よって、この大きさが等しいタイミング、つまり同様に、

\displaystyle Z_C = Z_L

\displaystyle \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}のとき、LC全体の電流\displaystyle iは恒等的に0となります。

 

 

以上の2パターンが全ての基本です。これを逆に利用すれば、特定の周波数が取り出せたりもしますね。

 

ポイント
\displaystyle \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}は共振周波数とも呼ばれたりする。

 

回路に当てはめて

 

さて、ここまで理解できればもう交流分野は怖くありません。実際に2つの代表的な回路を見てみましょう。

RLC直列回路

図のような回路を考えます。

 

とりあえず、全体の電流と全体の電圧の位相のズレをαとでもおいて考えましょう。

\displaystyle i = i_0 \sin{(\omega t + \alpha)}とおく。

 

すると、ベクトル図を次のように書くことができますね。

これは今までやってきたことを整理すればすぐにかけますよね。

サトゥー
てか、ベクトル図が書ければこの問題終わりなんですけどね。

 

\displaystyle vはベクトルの足し算と捉えてください。

さて、このベクトル図を元に計算してみると。

こんな感じで、回路全体のインピーダンスを求めることができますね。

 

消費電力は次のように計算できます。

ほら、全体の電圧と電流の内積になってることが確認できましたね。

 

 

あと、東大で僕が現役で受けた年の物理で出たネタを一つ入れときます。

共振回路にの周波数(振動数)ごとの特性をまとめると、次のような尖った山のグラフが得られます。

 

この山の鋭さ、つまり共振の鋭さを表す目安として、Q値と呼ばれるものがよく用いられます。

振動スペクトラムの共振ピーク近傍の形はその振動系の振動状態を特徴付ける。Q値とは

で定義される無次元数。ここで、 はそれぞれ共振ピークでの共振周波数、共振ピークの左側において振動エネルギーが共振ピークの半値となる周波数、共振ピークの右側において振動エネルギーが半値となる周波数である。ここで を半値幅と呼ぶ。

https://ja.wikipedia.org/wiki/Q%E5%80%A4#%E9%9B%BB%E6%B0%97%E5%B7%A5%E5%AD%A6

 

こんな感じです。

 

さて、それでは今回のRLC直列回路でのQ値を求めてみましょう。

 

東大でもこんな感じの問題が出ましたよね。(2016 第2問)

サトゥー
あーこれ現役の時できてれば受かったんだろうなぁ。。。

 

 

ポイントまとめ

てなわけで、こんな感じで終わりにしましょうか。基本的な問題はベクトル図だけでいけます。

ちょっと変な回路が出てきて、ベクトル図でどうにもならないような時には、原点に戻って、丁寧に文字をおいて微分や積分を駆使して、計算で解きましょう。

微積分といっても、sin,cosの微分は位相を \displaystyle \frac{\pi}{2} ズラすだけですし、簡単でしょ?

 

 

サトゥー
最後に、ポイントをまとめておきます。

 

ポイント
  • それぞれの回路素子の特性を理解する。(位相のズレ、ベクトル図がかけるように!)
  • 共振現象の仕組みを理解する。
  • 共振周波数は\displaystyle \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}
  • 大体の回路はベクトル図書いて終わり。かけない場合は原点に戻って普段通り計算して解こう。
  • 本質的には直流とやること変わらん!!

 

 

ということで、整理できたかな?

まとめにしてはあまりに長すぎたよね
サトゥー
本当にお疲れ様でした。

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物理の微積分の理解のために

 

 

問題演習にどうぞ

 

参考サイト

交流 高校物理の備忘録

交流(複素数表示) 高校物理の備忘録

共振回路【わかりやすい高校物理の部屋】

LC回路 wikipedia

インピーダンス wikipedia

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