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大学入試 物理チートシート〜2体問題を攻略。重心から見て考えよう〜

サトゥー

こんにちは、理系東大生ブロガーのサトゥーです。

物理の入試問題とか見てて本当に思うんですが、

サトゥー

「2体問題」ってしっかり対策しておくべきだよなぁって

重心系で議論できるように訓練しておかないと、本当に差がついてしまうなぁって思うんです。

てことで、今回は僕なりに「2体問題」と呼ばれる分野について、大学入試の物理で使えそうな知識をまとめてみます。

授業とかでしっかり習っている人はいいんだけど、僕なんかはまともに習ってないから。高校時代に知っておきたかったよなぁと思うんです。(苑田先生に教わった)

知っているだけでその辺の入試問題はだいたい瞬殺できるようになるのでぜひ習得してみてください。

2体問題とは?

「2体問題」ってそもそもなんなんだよ

という方も一定数いると思いますので、まずは「2体問題とはなんぞや」に答えて行きます。

まぁ文字通り、2つの物体の運動を考える問題だと思ってくれればいいのかなぁと思っています。

例えばこんなやつ。

二体問題のシチュエーション
二体問題のシチュエーション

なんか2つのものが動くから、よくわかんなくなりがちだよね。

わかっても、計算がだるかったりとか、とにかく苦手意識を持っている人が少なくない分野です。

サトゥー

こういった問題が一瞬で解けるようになります。

ということで、「2体問題」がどういった問題なのかについてはなんとなーく理解できたでしょうかね。相互作用を及ぼしながら運動する二物体を一つの系とみなして議論していく問題です。

ここから、まずは一般的な議論をして、そこから実際の入試問題で「どのように問題を解いていくのか」を見ていきたいと思います。

一般論

まず先に、2体問題の結論から言ってしまうと次のようになります。

結論

2体問題では、個々の粒子の運動の代わりに

「重心運動」と「相対運動」に分離して考えることで、

簡単に議論できる!

図のような状況を考えます。

二体問題の基本的な力図

2つの物体1,2があって、

物体1の質量は \(m_1\) 、物体2の質量は \(m_2\) で、それぞれの位置は \(\vec{r_1}, \vec{r_2}\) とします。

また、物体1が系の外部から受ける合力を \(\vec{F_1}\) 、物体1が物体2から受ける力を \(\vec{F_{12}}\) とします。物体2についても同様に力を定めます。

図に書いてあるように、 \(\vec{F_1}, \vec{F_2}\) は2物体系の外部から系内部の物体に働く外力であり、 \(\vec{F_{12}},\vec{F_{21}}\) は内部の物体が互いに力を及ぼしあう内力であります。

さて、ここで作用反作用の法則から、次の関係式が成り立ちます。

\(\vec{F_{12}}=-\vec{F_{21}}\)

このとき、物体1と物体2の運動方程式はそれぞれ、

運動方程式

\(m_1 \frac{d^2\vec{r_1}}{dt^2} = \vec{F_1} + \vec{F_{12}} \tag{1}\)

\(m_2 \frac{d^2\vec{r_2}}{dt^2} = \vec{F_2} + \vec{F_{21}} \tag{2}\)

となりますね。

みなさんがもし2体問題を知らないなら、普段の問題演習でも、上の2式の通りに式を立てて、変形して解いているわけですね。

でも、この連立方程式は、2体問題の場合に限って、うまーく変数分離できて綺麗な形になるんですね。

今からそれをやるんですが、イメージとしては画像の感じです。

二体問題のイメージ

普通に運動方程式を2本立てて連立して解く場合は、個々の問題に応じた式変形が必要です。

コレに対し、2体問題でこれから見ていく重心運動方程式、相対運動方程式というのを使うと、立式段階ですでに答えがすぐ出るような形に変形されているのです。

うざったい式変形を問題を解くたびにしなくて済むワケですね。

ではこの連立方程式を変形し、重心運動方程式と相対運動方程式というのを導出していきましょう。変形する上で、次の概念を導入します。

導入したい概念

重心: \(\vec{r_G}=\frac{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}}{m_1+m_2}\)

相対位置: \(\vec{r_r}=\vec{r_1}-\vec{r_2}\)

特別な概念ではないので、ここでつまずくことはないと思います。相対位置というのは、いわゆる「物体2から見た物体1の位置」ですね。

重心運動方程式から重心の運動がわかる!

さて、\((1) + (2)\)を計算すると、内力は作用反作用で消えるので、

\(m_1 \frac{d^2\vec{r_1}}{dt^2}+m_2 \frac{d^2\vec{r_2}}{dt^2}=\vec{F_1}+\vec{F_2}\)

つまり、左辺に重心の概念を適用すれば、次のようになります。

\((m_1+m_2)\frac{d^2\vec{r_G}}{dt^2}=\vec{F_1}+\vec{F_2} \tag{A}\)

これを重心運動方程式と言います。

式から読み取れるように、重心運動方程式からは系の重心の時間変化が分かるわけです。

\((A)\) から、重心の運動は外力によってのみ引き起こされるということがわかりますね。

つまり、

がわかります。

相対運動方程式から相対運動がわかる!

さて、2物体の運動について、重心運動方程式から重心の振る舞いがわかることが判明しました。

では、重心運動を除いた運動はどうなるのでしょうか?

これを理解するために、 \(\frac{(1)}{m_1}-\frac{(2)}{m_2}\) を計算します。

すると、ここでも作用反作用を利用して、

\( \frac{d^{2} \vec{r}{1}}{d t^{2}}-\frac{d^{2} \vec{r}{2}}{d t^{2}}=\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) \overrightarrow{F_{12}}+\frac{\overrightarrow{F_{1}}}{m_{1}}-\frac{\overrightarrow{F_{2}}}{m_{2}} \)

となり、相対位置 \( \vec{r_{r}} \) を用いて運動方程式っぽく書き直すと、次のようになります。

\( \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\frac{d^2\vec{r_r}}{dt^2} = \vec{F_{12}}+\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{F_1}-\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{F_2} \tag{B}\)

\((B)\) を、相対運動方程式と呼びます。

また、この運動方程式の質量にあたる部分は、

換算質量: \(\mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)

と言います。

相対運動方程式 \((B)\) より、相対位置は内力に依存することがわかり、系内部の相互作用が相対運動に影響することが分かります。

(1)かつ(2) \( \Leftrightarrow \) (A)かつ(B)

ですから、重心運動方程式 \((A)\) と、相対運動方程式 \((B)\) を解くことは、元々の運動方程式を解くことと同値であるわけですね。

とりあえず、ここまで流れだけさらって、

https://i1.wp.com/www.planeta.tokyo/wp-content/uploads/2018/06/character_boy_normal-e1532012699933.png?w=880&ssl=1

ふむふむ、とりあえず2体問題は「重心運動」と「相対運動」に分ければうまくいくのだな

と思っておいてください。

相対運動についてもう少し考えてみると

次の図をご覧下さい。

二体問題の力図

これは、最初の図に \( \vec{r_{G}} \) と \( \vec{r_{r}} \) を加えたものです。

この図から、緑色の矢印、つまり重心から見た1と2の位置について次の式が成り立ちます。

\(\overrightarrow{r_{1 G}}=\overrightarrow{r_{1}}-\overrightarrow{r_{G}}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \overrightarrow{r_{r}}\)

\(\overrightarrow{r_{2 G}}=\overrightarrow{r_{2}}-\overrightarrow{r_{G}}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \vec{r}_{r}\)

このことから、相対運動は、重心から見た各点の運動と本質的には同じものと考えることができます。(その違いはたかだか実数倍しかないということです)

つまり、

相対運動の議論は、重心系での物体1,2の運動の議論と実質同じ

であり、このことから2体問題についての大きな議論の流れが次のようにまとめられます。

2体問題の流れ
  1. 重心運動がわかる(重心運動方程式)
  2. 相対運動がわかる(相対運動方程式)
  3. 相対運動から重心系での各点の運動がわかる
  4. 重心運動と重心系での各点の運動から、各点の運動がわかる

重心系での運動について

重心系での各点の運動について、

二体問題の力図

\(\overrightarrow{r_{1 G}}=\overrightarrow{r_{1}}-\overrightarrow{r_{G}}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \overrightarrow{r_{r}}\)

\(\overrightarrow{r_{2 G}}=\overrightarrow{r_{2}}-\overrightarrow{r_{G}}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \vec{r}_{r}\)

が成り立つことは先程確認しましたが、このことから次の事実が言えます。

サトゥー

これ使えるので覚えといてください。

エネルギー計算

それでは、

サトゥー

エネルギー計算も「重心」と「相対」に分けられるのではないか?

ということで考えてみましょうか。

2物体の系の運動エネルギーの総和 \(K\) は、各点の運動エネルギーの和で表されますから、

\(K \\ = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} \\ =\frac{1}{2} m_{1}\left|\overrightarrow{v_{G}}+\overrightarrow{v_{1 G}}\right|^{2}+\frac{1}{2} m_{2}\left|\overrightarrow{v_{G}}+\overrightarrow{v_{2 G}}\right|^{2} \\ = \frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{G}^{2}+\left(\frac{1}{2} m_{1} v_{1 G}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2 G}^{2}\right)+\overrightarrow{v_{G}} \cdot\left(m_{1} \overrightarrow{v_{1 G}}+m_{2} \overrightarrow{v_{2 G}}\right)\)

となります。

このうち、第1項は

重心運動エネルギー: \(K_{G}=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{G}^{2}\)

第3項については \(\left(m_{1} \overrightarrow{v_{1 G}}+m_{2} \overrightarrow{v_{2 G}}\right)=\overrightarrow{0}\) が成り立ちます。

第2項について、

\( \frac{1}{2}m_1{v_{1G}}^2+\frac{1}{2}m_2{v_{2G}}^2 \\ \\ =\frac{1}{2}m_1|\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{v_r}|^2+\frac{1}{2}m_2|\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{v_r}|^2 \\ \\ =\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}{v_r}^2 \\ \\ =\frac{1}{2}\mu{v_r}^2\)

が成り立ち、これを相対運動エネルギーといいます。

以上より、エネルギーについても、重心運動と相対運動に分割して考えることができると分かりました。

\( K = K_G + K_r \)

\(K_{G}=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{G}^{2}\)

\(K_r = \frac{1}{2}\mu{v_r}^2\)

実際に問題を解いてみよう

さて、ここまで一通り基本的な話は触れたので、次は問題をどうやって解くのかについての話を、実際の入試問題にチャレンジしつつ確認していきましょう。

手元に問題集とか一切無いので、2018年の入試問題から2つとってきました。

2018 北大

今回の話題に関連するところだけ話しますので、問題は必要なところだけ載せます。

こちらの問題は、問2の(4)~(7)まで。

問題

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さて、いかがでしょうか?

(4)で出した、 \(M V+m v=0\) および (5) で出した、 \(\frac{1}{2} M V^{2}+\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} k d^{2}\) を普通に連立して解くのも良いですが、今の話を理解された方ならもっと簡単に解けることが分かりますね。

こんな感じ。

 答え(案)

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はい、次。

2018 東大

東大は2体問題の問題が多いので、東大受験生は2体問題に習熟しているかで物理のクオリティに差が出やすいと思います。ホントに。

ちょっと問題が長いですが、せっかくですから全部やってみてください。

サトゥー

25分でできれば東大受かります

問題

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さて、こちらはいかがでしたでしょうか。僕の考えた回答も貼っときます。

今回紹介した知識を使った部分には緑の波線が引いてあります。

答え(案)

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この東大の問題は、2体問題だけを問われた問題というわけではありませんが、2体問題の考え方を知っているか(つまり、重心系でものを見ることに習熟しているか)が大きな差になるのではないかと思います。

参考

最後に、今回2体問題の記事を書くにあたって参考にしたサイトです。

2体問題についてもっと知りたい方はぜひこちらもみてください。

35 COMMENTS

アバター 匿名

間違えてコメントが重複していたらすみません、二体問題の定義?について質問です。
始めくっついていて途中で離れる問題は
くっついているギリギリまでは二体問題なのでこのサイトのやり方でエネルギーや速度が追えるけど離れてから二体問題じゃなくなるので
追えないという認識で合っていますか?
例えばバネの上に重りを乗せて重りが打ち上げられたり、滑り台の上に球を置いて転がってったり

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サトゥー サトゥー

最初のコメントは内容が同じなので削除させていただきますね。
離れていても重心と相対に着目して式を立てれば二体問題としての立式自体は可能ですよ。(天体運動とか、そもそもくっついてないですよね)

基本的に扱う物体が2体あるときは二体問題として扱えますが、一方で、相互作用がそもそも(近似的に)無い場合は、わざわざ重心と相対に分けて計算する必要がなく、個々の物体に着目して立式すればよいわけです。
質問者さまの例に挙がっているバネの上におもりが乗っている例や、すべり台の問題については、「相互作用を及ぼしているうちは二体問題として扱ったほうが楽だが、そうでない場合は二体問題として扱えるけどメリットが無い場合が多い」と回答できると思います(わかりにくくてすみません、実際に式いじってみると理解していただけるかと思われます…)

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アバター 匿名

返信ありがとうございます!
いえ、分かりやすい説明で納得できました。
二体問題の演習頑張ります!

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アバター つりぶ

相対運動エネルギー変化=系全体で生じる仕事 (あなたが立てた式)の左辺に速度の鉛直方向成分による重心運動エネルギー変化を足してあげれば 答えが出ますよ。

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アバター 匿名

今まで問題集とかで解いた二体問題は重心の運動についてや重心系でそれぞれの物体の運動を観測すれば解けるものばかりだったのですが、こういう問題と相対運動を持ち出す問題とでは何が違うのでしょうか?

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サトゥー サトゥー

「今まで問題集とかで解いた二体問題」がわからないので見当違いだったら申し訳ないのですが。
記事に書いたように、2物体の運動方程式(連立方程式)は、重心運動方程式かつ相対運動方程式(という連立方程式)と同値になっています。ですから、厳密には重心運動を使うならば相対運動も使わないと2物体の運動は議論できないことがわかります。

おそらく、「重心系でそれぞれの物体の運動を観測すれば解けるものばかりだった」というのは、系として重心系を採用しているだけで、立てている運動方程式自体は2物体それぞれの運動方程式のため、違うように見えるのではないでしょうか?もちろんこれは先ほどの同値関係の前者に当たるので、適切に議論することができます(重心運動と相対運動に分ける、というものの見方ではなく、重心から見た2物体の運動を考えるというものの見方になっているという話です)

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アバター 匿名

解決しました。相対運動と重心系での2物体それぞれの運動が等価で相対運動で考えない誘導の問題でした。
コメ返ありがとうございました。

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アバター 匿名

重心運動エネルギーが相対運動エネルギーに移り変わることは起こり得ますか?

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サトゥー サトゥー

匿名さま

系に外力が作用しないと重心運動エネルギーは変化しないため、重心運動エネルギーが変化する運動では考える力が増えるので話が複雑になるのですが、例えば東大の問題の例では「位置エネルギーと重心運動エネルギーと相対運動エネルギーの総量」が一定になるように変化します。そのため、変換は起こりうると言えるのではないでしょうかね。

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アバター 匿名

東大の1(1)は水平方向の重心速度は不変ですが鉛直方向は重力の仕事によって変化しますよね?それなのに重心運動エネルギーは不変として良いのでしょうか

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サトゥー サトゥー

匿名さま

コメントありがとうございます。
解答ががわかりにくく申し訳ありません。
こちらの問題ですが、確かに鉛直方向の重心位置は不変ではありません。
立式したタイミング(小球が最下点を通過するときおよび手を離した瞬間)において、重心は(たまたまどちらも)鉛直方向に静止しており、水平方向には常に静止していることから、重心運動エネルギーは結果として前後で変化せず、位置エネルギー変化分(右辺)は結果として全て相対運動エネルギーに変化することがわかります。

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アバター 匿名

m1v1G+m2v2G=0は常に成り立ちますか?それとも成立条件がありますか?

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サトゥー サトゥー

定義より次のように式変形することができます。
\displaystyle m_1 \vec{v_{1G}} + m_2 \vec{v_{2G}} = m_1 \frac{d \vec{r_{1G}}}{dt} + m_2 \frac{d \vec{r_{2G}}}{dt} = m_1 \frac{m_2}{m_1 + m_2} \frac{d \vec{r_r}}{dt} + m_2 (- \frac{m_1}{m_1 + m_2}) \frac{d \vec{r_r}}{dt} = 0
よって、記事のように文字を定義すれば基本的に常に成り立つことが分かります。

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サトゥー サトゥー

追加で定性的な説明をしておきます。
この量
\displaystyle m_1 \vec{v_{1G}} + m_2 \vec{v_{2G}}
は、重心系でみたときの運動量になります。重心系は重心に対して静止した座標系ですから、当然ながら、重心から見たとき、重心は動きません。よって、この量は0で一定となります。

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アバター 匿名

詳しくありがとうございます。理解できました。
この結果は、外力なし⇔重心速度一定のように覚えておくべきですか?

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サトゥー サトゥー

\displaystyle m_1 \vec{v_{1G}} + m_2 \vec{v_{2G}} = 0 という結果は、一応ブログ記事内で『重心から見た物体1,2は常に正反対側、質量の逆比の位置にあり、反対向き、質量の逆比の大きさの変位・速度・加速度で動く』という形でまとめられているので、そのように記憶しておくと色々便利かと思われます。

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アバター 匿名

とても参考になりました!
しかし、使いこなせる自信がないなら誘導された時以外は重心系などの知識は用いない方が無難ですよね?

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サトゥー サトゥー

匿名さま

コメントありがとうございます。そうですね、無難かどうかと聞かれれば無難ですね。
まぁこの辺は「掛け算使いこなせる自信ないので僕は足し算使うんです」みたいな話と言ってることが同じなので、もし余裕があるなら(試験本番以外で)何度か使っていて使い慣れておくと武器になります。足し算しか使えない人と掛け算も使える人だったら掛け算使える人の方が圧倒的に見える世界が広くなりますから。自分に残された時間と相談しながらやってみてください。

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サトゥー サトゥー

サイトウさま

コメントありがとうございます。
物体がバネから受ける力は図から正方向とわかるので、台はもちろん逆向きの負方向に力をうけ、総合的にv-V=正-負=正となります。
『「図から」とかずるいだろ〜!』と思われるかもしれませんが、物理(特に力学)と数学は図から直感的に分かり、数式をサポートできるというこの点において決定的に違う科目だと思っています。(もちろん数学的に示すことも可能でしょうが、面倒だし本問においてはそこは枝の部分の議論でしかないというか。)

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アバター 匿名

本記事の知識を実際にこの問題( http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/blog-entry-480.html?sp )で使ってみようと思ったのですが、問6でmgh=0+1/2 μv´^2、v´=2/3√6ghとしてみたところ解答と合わなかったのですがどこがまずいのでしょうか。

対価もはらわず関係無い質問してすみません、無視していただいてもかまいませんのでm(_ _)m

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サトゥー サトゥー

匿名さま

コメントありがとうございます。
問題を全部読んでいないので、見当違いのことを書いていたらまた指摘して欲しいのですが、この場合は小物体が鉛直方向に外力を受けているので、水平方向には重心不動ですが、鉛直方向には重心が動いてしまっていると思います。そのため、問6の貴方の回答は水平方向のみを考慮した場合の相対速度の大きさになってしまっているのではないか、と思います。

返信する
アバター 匿名

なるほど…

台は上下に動かないのに方向考えずに立式しててめちゃくちゃな解答でしたね、わざわざありがとうございましたm(_ _)m

返信する
サトゥー サトゥー

匿名さま

いえ、私も一度はミスしたことがあるパターンですので(笑)、試験本番では気をつけてみてくださいね。

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アバター オカダ

重心速度が0とありますが張力は外力ではないでしょうか。。。また台と球の二体系で考えているので内力ということでしょうか?

返信する
サトゥー サトゥー

オカダさま

コメントありがとうございます。わかりにくくて申し訳ありません。糸も系内です。台、糸、球の3つを系として見ています。

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