数学問題001 除法の扱い

サトゥー

こんばんは、サトゥーです。

現在東大休学中です。

さて、突然ですが今日から暇な時間を使って数学系の問題の解説を勝手にします。

経緯はいくつかあるのですが、まぁ簡単に言っちゃえば僕の脳トレです。

サトゥー

リクエストにもたくさん来てたし、ついにやります

それなりに面白い問題を用意するので、ぜひ暇つぶしにやってみてください。

てなわけで、今日は第1回。

問題
解説

問題

$\displaystyle m, n$ は正の整数で、 $\displaystyle m > n$ とする。

$\displaystyle (1)$ $\displaystyle x^m-1$ が $\displaystyle x^n-1$ で割り切れる条件は $\displaystyle m$ が $\displaystyle n$ の倍数であることを示せ。

$\displaystyle (2)$ $\displaystyle x^m+1$ が $\displaystyle x^n+1$ で割り切れる条件は $\displaystyle m$ が $\displaystyle n$ の奇数倍であることを示せ。

割り算が一つのテーマになっている、面白そうな問題ですね。暇だったら解いてみてください。

以下では早速解説に移ります。

解説

割り算ってなんだっけ？

ここで見直して欲しいのが、「割り算」って何？ということ。

2018-02-24非公開: 割り算の意味を理解しよう【大学入試】

こちらの問題でも説明したのですが、もう一度割り算とは何かを考えてみます。

引き算を通して、割り算とは何かを考え直してみる

$\displaystyle m$ ÷ $\displaystyle n$ = $\displaystyle q$ あまり $\displaystyle r$

$\displaystyle \Leftrightarrow$ 「 $\displaystyle m$ から $\displaystyle n$ を引けるだけ引く操作を繰り返した時、引いた回数が $\displaystyle q$ 、残りが $\displaystyle r$ 」

$\displaystyle \Leftrightarrow m = nq + r$ $\displaystyle (0 \leqq r < n )$

と変形できますね。

このように変形できることで、「割り算」というちょっと扱いにくい概念を「等式」という変形しやすい表現方法で表すことができ、式変形の自由度がめちゃくちゃ上がるわけですね。

さて、本問はそれを理解した上で、もう少しポイントをクリアする必要があります。

因数分解の公式

こちらの因数分解の公式は、なかなか使う機会がないので、忘れてしまっている人も多いのではないかと思います。

$\displaystyle X^k - Y^k = ( X - Y ) ( X^{k-1} + X^{k-2} Y + ... + X Y^{k-2} + Y^{k-1} )$

特に、 $\displaystyle k$ が奇数の時は、

$\displaystyle X^k + Y^k = X^k - (-Y)^k$

$\displaystyle = ( X + Y ) [ X^{k-1} + X^{k-2} (-Y) + ... + X (-Y)^{k-2} + (-Y)^{k-1} ]$

が成立する。

これを利用すれば、うまく割り算を実行できます。あとは解答をみてみましょう。

解答1:愚直に割り算を実行する方法

さて、それでは解答をみてみましょう。

注意

あくまで一つの略解に過ぎないので、論述云々の文句は受け付けません。相談なら受け付けますが

解答2:1のn乗根を用いた因数分解を利用した方法

さてさて、こちらは本格的な別解です。

1のn乗根を用いた因数分解について簡単にまとめておきましょう。

1のn乗根を用いた因数分解

STEP.1

1のn乗根を定義します

$\displaystyle \omega = \cos{\frac{2 \pi}{n}} + i \sin{\frac{2 \pi}{n}}$

とする

STEP.2

Aのn乗根を一つ選びます(見つける)

Aのn乗根の一つを、 $\displaystyle \alpha$ とする。

このとき $\displaystyle \alpha^n = A$ が成立。

STEP.3

因数分解します

$\displaystyle x^n - A = x^n - \alpha^n \\ \\ = \alpha^n(\frac{x}{\alpha}^n - 1) \\ \\ = \alpha^n (\frac{x}{\alpha} - 1)(\frac{x}{\alpha} - \omega )...(\frac{x}{\alpha} - \omega^{n-1}) \\ \\ = (x - \alpha)(x - \alpha \omega)(x - \alpha \omega^2)...(x - \alpha \omega^{n-1})$

という風に、うまく因数分解できます。今回の式の形はまさにイケそうですね。

ということで解答。