北海道大学 2018 数学

サトゥー

こんにちは、理系東大生ブロガーのサトゥーです。

北大の2018年の数学を解きました。

感想と僕の解答貼っときますね。

僕はただの大学生なので、

もしかしたら解答や細かい議論が間違っているかも知れません。(まだ予備校の解答出てないので…)

疑問点や間違いありましたらどしどしご指摘いただけると助かります。

第1問

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ベクトルの標準的な問題です。

さすがベクトルって感じで、図形的な処理はほぼ一切不要な気がします。

計算処理だけでできるので、ここは解き切りたい気がします。

略解

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訂正

求める最小値は2となっていますが、正しくは√2でした。

2乗されたままになっています。

ご指摘いただきました、コバクルさまありがとうございます。

第2問

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(1)は実数条件を式に表して変形すれば、そのまま答えが得られます。

z=0を除くという点に注意してください。問題文をよく読みましょう!

(2)は個人的に一番苦戦した(まじで複素数のセンスないんだと思う。。。)問題でした。

まぁ愚直に式変形していくしか僕にはわかりませんでしたので、こうします。

自分も間違えないように、解答の途中に「方針」とかわざと書いて、何をしているのか明確にして見失わないようにしています。

略解

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第3問

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(1)はまぁ普通に、9の倍数の部分くくりだして、あまりが等しいから…って言えばいいのではないでしょうかね。合同式でもいいんじゃないですかね。ここは大した問題ではありません。

さて、(2)以降は細かく分けて数え上げで確率を求めていきます。

 

面倒な時は、全部区別して考える。

確率においてはこの考え方結構大事です。

 

ここは丁寧に場合分けして考えていきましょう。

(3)は奇数になる場合が「1の位=1」しかないので、

奇数で考えて余事象とって求めるのがいい気がします。

略解

(1)1000a+100b+10c+d=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

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第4問

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いわゆる、図形と方程式っていう分野の問題でしょうか。

こちらもちょっとだけめんどくさいですが、標準的な問題ではないかと思います。

まずは条件を丁寧に式に直して、図示してみて、改めて図形的な考察ができないか考えてみよう。みたいな方針でなんとかなる気がします。

僕の解答はちょっと甘いかも知れません。(疲れたごめんなさい)

略解

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第5問

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(1)は数日前にこの話をしたような気がしますね…

まさか出るとは。

まぁこれはグラフ書けば明らかで、

わかんなくても微分して増減調べれば終わりですね。

(2)はh(x)=f(x)-g(x)として微分し、そこに(1)を適用すれば、いい感じに微分形が評価できると思います。あとは普通の不等式証明です。

(3)はグラフの具体的な形がわからなくても、計算できちゃうんだなぁっていう例です。まぁこの程度のグラフならある程度概形はかけるけど。本問では(2)で示した結果から、そのまま積分するだけ。

積分計算でルートのめんどくさそうな奴が出てきますが、これはサイン置換でなんとかなりました。

略解

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全体を振り返ってみると

まずは受験生のみなさま、本当にお疲れ様でした。

2日目もある方は頑張って。

北大の数学は本当に良問が多い印象ですね。いい感じのレベルで、

入試問題として差がつくようなちょうどいいレベルの問題がたくさん出ているような印象を受けます。

と、ここまで偉そうなこと言ってますが、

間違いなどありましたら遠慮なく指摘してくださいね。マジで。

お願いしますね。

それでは今日もポチッと頼んだ。↓


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