004 置き換えて楽しよう

サトゥー

おはようございます、今日も1問、数学の問題をシェアします。

 

これまでの問題はこちら↓

 

問題

 

実数 \displaystyle x,y\displaystyle |x| \leqq 1, |y| \leqq 1 を満たすとき、不等式

\displaystyle 0 \leqq x^2 + y^2 - 2x^2y^2 +2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} \leqq 1

が成立することを示せ。


 

解説

 

2015年の大阪大学理系の問題です。

解けた人は一瞬で解けたと思いますが、解けなかった人は苦戦したのではないでしょうか。

 

整理しちゃえばどうってことない問題なのですが、かなり発想が重要になる問題なので、ここで紹介させていただきました。

サトゥー

試験会場で解き切るのは結構難易度高いと思います。

 

要するに、「置き換えで楽をしよう」という発想があるか

本問についてはこれに尽きます。

 

結論を言ってしまえば、sinもしくはcosで置換すれば終わりですね。式がとっても綺麗な形になって、変形していけば示せます。

 

めも

置き換えで楽をするのは入試数学の鉄則!

 

さてさて、「置き換えてみよう」という目線を持って改めて式を見てみると、

\displaystyle x^2 + y^2 - 2x^2y^2 +2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}

ほら、これ完全にsin,cosの置換をして欲しそうだよね。

 

 

 

最悪気づかなくてもなんとかなる(ゴリ押し)

ちなみに僕は受験生当時、解いた時にはsinの置換に気づくことができませんでした。

 

どうしたかというと、この式が「x,yの対称式」であるということに着目して、

\displaystyle u=x+y, v=xy

と置いて頑張ったんですね。(そこまでキツくはなかった記憶)

 

めも

対称式は、基本対称式で表せば式変形がしやすい形になることが多い。(実数条件の確認を忘れないこと)

 

解答例

こちらが解答になります。

 

(前提として)

条件 \displaystyle |x| \leqq 1, |y| \leqq 1 を①とし、\displaystyle P = x^2 + y^2 - 2x^2y^2 +2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} としています。

 

 

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