2015 阪大理系数学 第2問

阪大理系数学 2015 第2問の解説をしてみます。

実数 $x, y$ が$ |x| \leq 1, |y| \leq 1$ を満たすとき、不等式

\begin{align*}
0 \leq x^2 + y^2 – 2x^2y^2 +2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} \leq 1
\end{align*}

が成り立つことを示せ。

2015 阪大理系

解いてみた感想

解けた人は一瞬で解けたと思いますが、解けなかった人は苦戦したのではないでしょうか。

整理しちゃえばどうってことない問題なのですが、楽をする上でかなり発想が重要になる問題なので、ここで紹介させていただきました。

https://www.planeta.tokyo/wp-content/uploads/2019/06/73432a07bc443e6224682ef5ecdc94d8.png
サトゥー

試験会場で解き切るのは意外と難易度高いと思います。

要するに、「置き換えで楽をしよう」という発想があるか

本問についてはこれに尽きます。

結論を言ってしまえば、$\sin{}$ もしくは $\cos{}$ で置換すれば終わりですね。式がとっても綺麗な形になって、変形していけば示せます。

めも

置き換えて楽をするのは入試数学の鉄則!

さてさて、「置き換えてみよう」という目線を持って改めて式を見てみると、

\begin{align*}
0 \leq x^2 + y^2 – 2x^2y^2 +2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} \leq 1
\end{align*}

ほら、これ完全に $\sin{},\cos{}$ の置換をして欲しそうだよね。

最悪気づかなくてもなんとかなる(ゴリ押し)

ちなみに僕は受験生当時、解いた時にはsinの置換に気づくことができませんでした。で、どうしたかというと、この式が「$x,y$ の対称式」であるということに着目して、

\begin{align*}
u=x+y, v=xy
\end{align*}

と置いて頑張りました。(そこまでキツくはなかった記憶)

めも

対称式は、基本対称式で表せば式変形がしやすい形になることが多い。(実数条件の確認を忘れないこと)

解答例

では回答を書いてみようと思います。

条件 $|x| \leq 1, |y| \leq 1$ より

\begin{align*}
x = \cos{\theta}, y = \cos{\phi}, (0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq \phi \leq \pi)
\end{align*}

とおけ、 $\sqrt{1-x^2} \geq 0$ , $\sqrt{1 – y^2} \geq 0$ に注意すれば、

\begin{align*}
& x^2 + y^2 – 2x^2y^2 +2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} \\
& = \cos^2{\theta} + \cos^2{\phi} – 2 \cos^2{\theta} \cos^2{\phi} + 2\cos{\theta} \cos{\phi} \sin{\theta} \sin{\phi} \\
& = \cos^2{\theta} (1 – \cos^2{\phi}) + \cos^2{\phi} ( 1 – \cos^2{\theta}) + 2\cos{\theta} \cos{\phi} \sin{\theta} \sin{\phi} \\
& = \cos^2{\theta} \sin^2{\phi} + \cos^2{\phi} \sin^2{\theta} + 2\cos{\theta} \cos{\phi} \sin{\theta} \sin{\phi} \\
& = (\cos{\theta} \sin{\phi} + \cos{\phi} \sin{\theta})^2 \\
& = \sin^2{(\theta + \phi)}
\end{align*}

よって、 $ -1 \leq \sin{(\theta + \phi)} \leq 1$ なので、 $ 0 \leq \sin^2{(\theta + \phi)} \leq 1$

\begin{align*}
0 \leq x^2 + y^2 – 2x^2y^2 +2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} \leq 1
\end{align*}

https://www.planeta.tokyo/wp-content/uploads/2019/06/73432a07bc443e6224682ef5ecdc94d8.png
サトゥー

不安になりながらも式変形して、 $\cos^2{\theta} \sin^2{\phi}$ $+ \cos^2{\phi} \sin^2{\theta}$ $+ 2\cos{\theta} \cos{\phi} \sin{\theta} \sin{\phi} $ あたりで勝ちを確信するイメージですね

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