数学問題005 極限は出来レースだ

こんにちは、今回も1問、数学の問題を解いてみましょうか。

 

サトゥー

最近ブログに何を書けばいいか病的にわからなくなってしまったので、とりあえず数学の問題を解いてごまかしています。ブログって何書けばいいんだっけ…?

 

 

これまでの問題はこちら↓

問題

 

\displaystyle a は正の定数、\displaystyle n は自然数として、\displaystyle 0 < x \leqq a, nx^3 - 3na^2x + 2a^3 = 0 を満たす\displaystyle x\displaystyle x_n とするとき、\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n, \lim_{n \to \infty} n x_n を求めよ。


 

解説

例のごとく、色々話しながら解説していこうと思いますー。

 

数列の極限の基本的な戦い方

数列の極限の問題はだいたいこんな感じで解いていきます。

 

  • STEP.1
    アバウトに答えを予想してしまいます
     ぶっちゃけるとどんな方法でもいいです。n=1,2,3…と実験してだいたいの一般項出して極限取ってみるとか、実際に有限確定値αに収束すると仮定して漸化式に代入するとか、あとは出題者の心理的に「これは発散してこっちが収束しないと問題的に面白くないな」とかでもいいです。ぶっちゃけ。
  • STEP.2
    予想を証明します
    比をとるかはさみうちの形に持っていくかがセオリーです。余計な計算を極力避けましょう。そのための予想です。

 

はい。

 

本問の場合はどうか?出題者の心理的に…

 

多分 \displaystyle nx_n が収束して、\displaystyle x_n は0になるでしょうね。

サトゥー

だってそうじゃないとこの問題面白くないでしょ!!!

 

いいんです。所詮、入試数学なんて出来レースなんです。

 

あとはグラフとか、うまく使えるといいですね。

略解

なんか、色々端折った気がするので略解にします。逃げます。

 

 

(前提として)

\displaystyle 0 < x \leqq a を①

\displaystyle nx^3 - 3na^2x + 2a^3 = 0 を②としています。

 

青で書いていますが、実際の入試の答案では増減表くらいは真面目に書きましょう。

模試の採点のバイトとかしてるとよく思うのですが、増減表はマジでほとんどの場合採点基準になっているので。書いといたほうが自分のためです。

 

\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = 0 をグラフから議論して示したことにしていますが、本問ではこれくらいの議論ができれば十分ではないかと考えています。

また、\displaystyle n x_n = のところ。前の極限値から、今回は「わる0」を考えなくていいことがわかるので、そのまま割っていますが、試験ではこの辺りの話も明記したほうがいいですね。

 

ということで、今日も解きました。めでたし、めでたし。

 

 

サトゥー

最近、仕事が(体力的に)きつくて、数学の問題を解いている時間がリフレッシュになっています。楽しい。d=====( ̄∇ ̄*)bイエーイd(* ̄∇ ̄)=====b

これが東大生のあるべき姿か…

4 Comments

サトゥー サトゥー

Jさま

コメントありがとうございます。こちらの問題は確かオリジナルだったと思います。予備校の先生が演習用に簡単に作ったネタだったような…
定かではありませんが、入試問題ではありませんので、クオリティについてはご了承ください。

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サトゥー サトゥー

匿名さま

コメントありがとうございます。
関数の極限についても、ある程度決め打ちができるのではないかと思います。
もちろん発散するものもありますが、だいたい有限確定値に収束した方がそれっぽいなぁ、みたいな感覚ってあると思うんですよね。
グラフの概形がある程度わかっていたり、x→∞での挙動がある程度読めたりとか、先に実験的に答えを出しておくのは極限の問題では有効です。
もちろんこれをそのまま答案として書くのはアウトなので、予想は証明し、そのプロセスを答案にまとめる必要があります。

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