割り算の意味を理解しよう【大学入試】

さて、今日もリハビリとして解きました。

僕が予備校生だった頃にためになったやつをひとつ。

この問題を通して、「割り算とは何か?」に対する理解を深めてもらえればと思います。

問題

\displaystyle n を自然数とする。 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{3}\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{2} でわった余りが \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k となるような \displaystyle n をすべて求めよ。

シンプルな問題文です。

問題自体はそこまで難しくないので、ぜひ解いてみてください。

解説: 割り算とはそもそもなんなのか?

問題自体の解答に入る前に、「割り算」自体について一つ考えてみましょう。

今から説明する考え方は整数問題などでたまに使えるので、知っておいて損はないと思います。

割り算って何?
って意地悪なガキに聞かれたとしましょう。

サトゥー

割り算はね、みんなに均等に分けてあげるんだよー。ほら、みてみて…

それは知ってる

サトゥー

割り算はね、逆数の掛け算になるんだよ。ほら、みてみて…

その説明飽きたんですけど

サトゥー

うるせぇこのヤロー黙って計算しろやオラ

…はい。

くだらない茶番はここまでにしましょう。

割り算を「逆数の掛け算」以外の方法で説明するとしたらどうなるでしょうか?

そもそも、逆数の掛け算自体も中学生の知識なので、僕たちは小学生の頃になんらかの方法で「割り算」というものを教わり、理解しているワケです。(多分)

小学生のころにどうやって教わったかは僕も覚えていないので知りませんが、ぜひこの機会に割り算をもう一度理解して、納得しておきましょう。

引き算を通して割り算を理解しなおす

「引き算」に着目して考えると、次のようにも説明できると思います。

\displaystyle m \div n = q あまり \displaystyle r

\displaystyle \Leftrightarrow \displaystyle m から \displaystyle n を引けるだけ引く操作を繰り返したとき、引いた回数が \displaystyle q 、のこりが \displaystyle r

引けるだけ引き算するんです。

こんなイメージ↓

f:id:bighope-lumiere0916:20180224133033j:plain

m(=26)個からn(=3)個ずつ引いていくと、

引ける回数がq(=8)、引けなくなった時の残りがr(=2)個となります。

これを等式で表すこともできます。

\displaystyle m \div n = q あまり \displaystyle r

\displaystyle \Leftrightarrow \displaystyle m から \displaystyle n を引けるだけ引く操作を繰り返したとき、引いた回数が \displaystyle q 、のこりが \displaystyle r

\displaystyle \Leftrightarrow m=n q+r \quad(0 \leq r<n)

この等式の形は、もちろん小学校でも習いますし、大学入試では「割り算」として一番登場回数が多い形です。

なぜ登場回数が多いのかというと、簡単な話で「等式は簡単に式変形ができるからなんですね。

で、ここで注意して欲しいのが、

\displaystyle (0 \leq r<n)

これ、絶対忘れないこと。

ここも先ほど説明した「割り算の意味」を考えてもらえれば、その重要性はきっと理解していただけると思っているのですが、

これがないと問題が解けません。(この問題もそうです)

当たり前のことなんですが、

m=nq+rと書けるんだー
としか意識できていない人にとっては盲点となってしまいます。注意してください。

まとめ:割り算とは

割り算とは何か

\displaystyle m \div n = q あまり \displaystyle r

\displaystyle \Leftrightarrow \displaystyle m から \displaystyle n を引けるだけ引く操作を繰り返したとき、引いた回数が \displaystyle q のここりが \displaystyle r

\displaystyle \Leftrightarrow m=n q+r \quad(0 \leq r<n)

等式の形は式変形ができるので、入試では一番下の式の形で使うことがほとんど。

 

解答を作ってみるよ

\displaystyle (0 \leq r<n)

これを忘れないこと。

あとは普通の整数問題らしくいきましょう。

整数問題は、「限定→しらみつぶし」が原則です。

整数問題の基本姿勢

整数問題は「限定→しらみつぶし」が鉄則。

「限定」には、不等関係、あまりの周期性、約数・倍数関係などを利用。

さて、その基本方針にのっとりながら、「どのようにして限定するか?」を考えてみますと、今回は、

「n=~ もしくは q=~ の形にして、それが整数である条件」を利用して限定

が使えそうです。

式変形していくと、nの2次式、qの1次式が得られますから、解答ではqについて解いています。qについて解く方が賢明ですね。

f:id:bighope-lumiere0916:20180224134527j:plain

Zは整数全体の集合です、よくこう表すのですね。

サトゥー

ドイツ語のZahlen(数)からきているそうです


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2 COMMENTS

サトゥー サトゥー

うわ〜ごめんなさい!!(そしてご指摘ありがとうございます)
見事に間違えちゃいけないところを間違えてますね…ご指摘ありがとうございます。すぐに修正いたします。

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