割り算の意味を理解しよう【大学入試】

こんにちは、理系東大生ブロガーのサトゥーです。

いよいよ明日は国公立入試本番ですね。(今日だと思ってた)

さて、今日もリハビリとして解きました。

僕が予備校生だった頃にためになったやつを。

この問題を通して、

「割り算とは何か?」に対する理解を深めてもらえればと思います。

問題

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シンプルな問題文です。

問題自体はそこまで難しくないので、ぜひ解いてみてください。

はい、ここからこの問題の解説を試みます。

割り算とはそもそもなんなのか?

問題自体の解答に入る前に、「割り算」自体について一つ考えてみましょう。

今回は余りが出るパターンです。

今から説明する考え方は整数問題などでたまに使えるので、

知っておいて損はないと思います。

割り算って何?

って意地悪なガキに聞かれたとしましょう。

割り算はね、みんなに均等に分けてあげるんだよー。ほら、みてみて…
それは知ってる
割り算はね、逆数の掛け算になるんだよ。ほら、みてみて…
その説明飽きたんですけど
うるせぇこのヤロー黙って計算しろやオラ

…はい。

くだらない茶番はここまでにしましょう。

割り算を「逆数の掛け算」以外の方法で説明するとしたらどうなるでしょうか?

というか、逆数の掛け算自体も中学生の知識なので、

僕たちは小学生の頃になんらかの方法で「割り算」というものを教わり、

理解しているワケです。(多分)

実際の方法は僕も覚えていないので知りませんが、

ぜひこの機会に割り算をもう一度理解して、納得しておきましょう。

引き算を通して割り算を理解しなおす

「引き算」に着目して考えると、次のようにも説明できると思います。

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そう、引けるだけ引き算するんです。

こんなイメージです。

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m(=26)個からn(=3)個ずつ引いていくと、

引ける回数がq(=8)、引けなくなった時の残りがr(=2)個となります。

これを等式で表すこともできます。

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この等式の形は、もちろん小学校でも習いますし、

大学入試では「割り算」として一番登場回数が多い形です。

なぜ登場回数が多いのかというと、簡単な話で、

等式は簡単に式変形ができるから。

なんですね。

で、ここで注意して欲しいのが、

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これ、絶対忘れないこと。

ここも先ほど説明した「割り算の意味」を考えてもらえれば、

その重要性はきっと理解していただけると思っているのですが、

これがないと問題が解けません。

この問題もそう。

当たり前のことなんですが、

m=nq+rと書けるんだー

としか意識できていない人にとっては盲点となってしまいます。

注意してください。

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さて、解答に移ります。

解答を作ってみるよ

僕が言いたかったのはこの注意点だけなんですね。

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これを忘れないこと。

あとは普通の整数問題らしくいきましょう。

整数問題は、

「限定→しらみつぶし」

が原則です。

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さて、その基本方針にのっとりながら、

「どのようにして限定するか?」を考えてみますと、

今回は、

n=~ もしくは q=~ の形にして、それが整数である条件

が使えそうです。

で、式変形していくと、

nの2次式、qの1次式が得られますから、

解答ではqについて解いていますし、

qについて解く方が「賢い」と言えるでしょう。

はい、解答です。

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Zは整数全体の集合です、よくこう表すのですね。

ドイツ語のZahlen(数)からきているそうです

はい、以上です。

受験生頑張ってね。

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