東京慈恵会医大 2018数学 第3問

こんにちは、理系東大生ブロガーのサトゥーです。

前回の早稲田教育の問題に引き続き、リハビリです。

早稲田教育の問題はこちら

早稲田教育 2018数学第3問

今日は、2018年の東京慈恵会医科大の数学です。

問題

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n重合成関数ですね。

まぁn重の合成関数が出てくる問題は、とにかくしんどいイメージしかありません。

実際にこの問題もそうでした。

地道にやっていって工夫・法則性を見つけていくしかなさそうですね。

面倒な部分は計算しない!

とりあえず本問で重要となるのはあくまで「余り」であって、

商ではないですから、

商の部分を計算しないで済むように設定しましょう。

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こういった工夫によって簡略化することで、問題全体の見通しがよくなります。(整式に対して合同式を適用するのとやってることの本質は同じです)

(1)を解くよ

さて、こうすれば(1)は余計な計算を省いて解けますね。

具体的に代入してf_2(x)を求めましょう。

(画像では紛らわしいので(x)を省略してある部分があります)

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(2)を解くよ

はい、(2)です。(1)までは、なーんて事ありませんが、

(2)は私大医学部って感じの、面倒な問題ですね。

なるべく楽に攻略できるように、工夫しながらやってみます。

さて、とりあえずa_nの極限を求めるわけだし、

パッと見a_nについて「はさみうちの不等式」を作れそうな手がかりもない。(なんか実際は挟めるらしいぞ)

そこで、漸化式を立ててa_nを直接求めてみましょう。

つまりこういうこと。

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f_(n+1)についての余りをa_nで表せれば、

そこからa_nについての漸化式が得られそうですね。

さて、ここで、f_nについての計算をするわけですが、ここで

f_nって具体的にどうやって表すの??

っていう問題になってくると思います。

大丈夫。

さっき、Q(x)というテキトーな整式を定義したおかげで、f_nは次のように表せることがわかります。

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Q(x)置いといてよかったー。

さて、では心配なく漸化式を立てに行きましょう。

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さあ、これでa_n,b_nについての連立漸化式が立てられました。

これを解けばいいワケです。

今回大事なのはa_nですから、まずはこちらをみてみましょう。

a_nの漸化式、つまりa_nが満たすべきルールというのは次のようになります。

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え、ここからどうやって解くの?
こんな漸化式の解き方知らねーぞー

という前に聞いて欲しいんですが、

漸化式の解き方って別に全て暗記するものじゃないんですね。

大事なのは、

等差or等比(もしくはそれに近い)形にすること

で、そうすれば、

nから順々に遡って、1まで辿っても複雑な形になりにくい

から、解けるワケですね。

今回は、なんとなく「等比」っぽくないですか?

てことで、このまま遡ってみましょう。

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ほら、なんかそれっぽい(イケそうな)形になったでしょ?

ということは、a_nの一般項を求めるためには、

2b_n+1の一般項が分かればいい

ということが分かりますね。

一旦整理するよ

さて、ここまでの議論を一旦整理します。

a_nを求める上で、分かったことは大きく次の2つ。

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工夫するよ

さて、このまま解くのも別にいいんですが、

結構面倒な計算になってしまって大変です。

そこで、今回は議論を簡単にするために2つのツールを導入します。

一つは、「2b_n+1」を簡単な形にするために、

もう一つは、「n-1個の積」を簡単な形にするために。

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さて、このツールを導入した上でもう一度議論を整理します。

求めたいのはa_nで、その上でわかっていることは、

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はい、ここまで簡単に表すことができればもう終わりです。

あとはlog(c_n)の一般項を求めて、そこからlog(a_n)を求めて、

a_nを求めるという流れですね。

ここは簡単な作業なので省略します。

結果は、

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以上から、指数部分は負の無限大に飛んで行きます(指数関数の方が強い)ので、

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こうなって終わり。

「指数関数の方が強い」ところの説明については、2^nについて二項展開してテキトーに不等式作ってください。

はい。これで終わりです。

振り返ってみると

計算がややしんどく、先が見えなくなってしまいそうな問題ですが、

やっていること自体は決して複雑な話ではありません。

a_nの一般項を求めているだけですよね。

ここがしっかり見えている人は、ペンが止まることは無かったのでは。

複雑な部分を工夫して簡単にすることで、

こういった「目的」を明確に、見失わないようになり、

問題を確実に解くことができるようになると思います。

大局観を養うの大事よ。

a_nの漸化式はlogとると階差になるのでそこを強く意識してもよかったかもしれません

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