数学問題007 数学オリンピックの整数問題に挑戦!!

サトゥー

更新できずごめんなさい。(土下座)

 

今日は整数問題を解きます。というか先日JMO(数学オリンピック)予選問題に手を出してみたので、受験生的にもちょうど良い問題としてシェアさせていただきますね。

実際の数オリ2019予選問題はこちらのwebサイトからみることができます。

参考 国内大会・国際大会の問題数学オリンピック財団

 

問題

(1) 正の整数の組 \displaystyle (x, y, z) であって、\displaystyle x + xy + xyz = 31 , x < y < z となるものをすべて求めよ。

(2) どの桁も素数となるような正の整数を良い数という。3桁の良い数であって、2乗すると5桁の良い数となるものをすべて求めよ。

(3) 97,100,103で割った余りがそれぞれ32,33,34である正の整数のうち最小のものを求めよ。

(2019 JMO予選)


※予選11番は僕がやってない(きっとできない)のでカットします

さて、(1)と(2)はかなり典型的な問題ですね。というか(3)もぶっちゃけ典型ではあるのですが。

順番にみてみましょうか。

 

(1) を考えてみる

 

(1) 正の整数の組 \displaystyle (x, y, z) であって、\displaystyle x + xy + xyz = 31 , x < y < z となるものをすべて求めよ。

 

整数問題は「積の形に」することが基本的な鉄則です。なぜなら、整数問題でのメイントピックになる『約数・倍数』の関係が全て積の形から議論されるものであるからです。

与えられた式が因数分解できそうなら、まずは因数分解して「積の形に」直してみましょう。すると、次の一手が自然と見えてきますね。

 

整数問題のツボ

まずは与えられた式を「積の形に」できないか考えてみよう

 

\displaystyle x + xy + xyz = x ( 1 + y + yz )

と直せ、条件式右辺の31は素数です。素数とは正の約数に1と自分自身しか持たない数のことです。

 

今回、\displaystyle x ( 1 + y + yz ) について、\displaystyle x \displaystyle 1 + y + yz は共に正の整数であること、

また、\displaystyle x < y < z より\displaystyle x < 1 + y + z となることから、あり得る可能性は

\displaystyle ( x , 1 + y + yz ) = ( 1, 31 ) の1通りしかないことが分かりますね。

 

これで \displaystyle x = 1 が確定したので、次は \displaystyle y + yz = 31 の式を同様に考えていきます。あとは同じで、yでくくって「積の形に」すれば見えてきますね。

 

解答例

以下が解答例になります。参考にどうぞ。

サトゥー

いつも解答が手書きで汚くてごめんね!!!!!!

 

(2)を考えてみる

 

(2) どの桁も素数となるような正の整数を良い数という。3桁の良い数であって、2乗すると5桁の良い数となるものをすべて求めよ。

 

整数問題はとりあえず手を動かしてみると、次の一手が思わぬところで見えてきたりします。(そういう意味で具体値を代入するとかの「実験」はめっちゃ大事)

本問もとりあえず、まずは3桁の良い数を表現してみるところからスタートしましょう。

 

\displaystyle M = 100 x + 10 y + z 但しx, y, zは1桁の素数すなわち2, 3, 5, 7のいずれか

こうして、\displaystyle M^2 = x^2 10^4 + 2xy 10^3 + y^2 10^2 + 2xz 10^2 + 2yz 10 + z^2

が分かります。ここで、\displaystyle 10^3 がついてるからといって \displaystyle 10^3 の位の数字だと早とちりしないように。繰り上がりがあることに注意しましょう。その上で、まずは繰り上がりのない1の位から考えてみます。

最終的に決定すれば良いのはx, y ,zの3数だけで、これも選択肢が4つしかないので、決められるとこ決めたらあとはしらみ潰しです。『限定して、しらみ潰し』は整数問題の鉄則ですので。

 

整数問題のツボ

限定して、しらみ潰し

 

解答例

以下が解答例になります。

 

(3)を考えてみる

 

(3) 97,100,103で割った余りがそれぞれ32,33,34である正の整数のうち最小のものを求めよ。

 

(3)は中国剰余定理という有名な法則をご存知の方はピンときたかもしれませんね。

ただ、普通の中国剰余定理系の問題のように不定方程式立ててセオリー通りにやると計算が結構だるいので、解答では合同式を使ったものを紹介します。

 

97,100,103が互いに素なので、0から(97*100*103=)999100までの中に題意を満たす数があるという話で、じゃあそれを求めましょうか。という話です。

 

よくある例題として、

5でわると3余り、6でわると2余る30以下の正の整数を求めよ。

みたいな感じのやつ、見たことあると思います。(8が答)

 

僕は普段は不定方程式でゴリゴリ解くタイプの人間なのですが、扱う数がデカかったので計算が大変でした。

解答例

合同式使いましょうか。こうやって式自体を同じ形にしてやると上手くいくことが多いです。

 

サトゥー

合同式とか慣れてなくてよく分からなくなったら普通に書き下して合同式使わずに考えましょうね。そういう癖つけとくとクソみたいなミスがなくなります。

 

 

さて、こんな感じでいかがですかね。また気が向いたら更新します。

 

他にも整数問題をときたい方はこちら↓

数学問題006 京大の整数…?

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