2018 東大文類数学 文系

最近リハビリのため、入試の数学をエンジョイしています。(あくまでエンジョイ勢です)

 

そういえば自分の大学入試以降、東大の入試問題をまともに見ていないので、リハビリがてら2018年の東大文系数学を解いてみることにしました。ポイントや着眼点を中心にメモしますので、受験生の方々など、参考になれば幸いです。

 

問題

まずは問題を見てみましょう。

サトゥー

最近LaTeX書くの速くなってきた〜〜!!

第1問

座標平面上に放物線 \displaystyle C

\displaystyle y = x^2 - 3x + 4

で定め、領域 \displaystyle D

\displaystyle y \geq x^2 - 3x + 4

で定める。原点を通る2直線 \displaystyle l, m\displaystyle C に接するものとする。

(1) 放物線 \displaystyle C 上を動く点 \displaystyle A と直線 \displaystyle l, m の距離をそれぞれ \displaystyle L, M とする。\displaystyle \sqrt{L} + \sqrt{M} が最小値をとるときの点 \displaystyle A の座標を求めよ。

(2) 次の条件を満たす点 \displaystyle P(p, q) の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

条件:領域 \displaystyle D のすべての点 \displaystyle (x, y) に対し、不等式 \displaystyle px + qy \leq 0 がなりたつ。

第2問

数列 \displaystyle a_1 , a_2 , ......

\displaystyle a_n = \frac{ { }_{2n} C _n }{ n! }  (n = 1, 2, ......)

で定める。

(1) \displaystyle a_7 と1の大小を調べよ。

(2) \displaystyle n \geq 2 とする。\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}} < 1 を満たすnの範囲を求めよ。

(3) \displaystyle a_n が整数となる \displaystyle n \geq 1 をすべて求めよ。

第3問

\displaystyle a > 0 とし、

\displaystyle f(x) = x^3 - 3a^2 x

とおく。

(1) \displaystyle x \geq 1 \displaystyle f(x) が単調に増加するための、\displaystyle a についての条件を求めよ。

(2) 次の2条件を満たす点 \displaystyle (a, b) の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

条件1:方程式 \displaystyle f(x) = b は相異なる3実数解をもつ。

条件2:さらに、方程式 \displaystyle f(x) = b の解を \displaystyle \alpha < \beta < \gamma とすると \displaystyle \beta > 1 である。

第4問

放物線 \displaystyle y = x^2 のうち \displaystyle -1 \geq x \geq 1 を満たす部分を \displaystyle C とする。座標平面上の原点 \displaystyle O と点 \displaystyle A(1, 0) を考える。

(1) 点 \displaystyle P が \displaystyle C 上を動くとき、

\displaystyle \overrightarrow{OQ} = 2 \overrightarrow{OP}

を満たす点 \displaystyle Q の軌跡を求めよ。

(2) 点 \displaystyle P が \displaystyle C 上を動き、点 \displaystyle R が線分 \displaystyle OA 上を動くとき、

\displaystyle \overrightarrow{OS} = 2 \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OR}

を満たす点 \displaystyle S が動く領域を座標平面上に図示し、その面積を求めよ。

 

全体的な話

なんか領域の問題が多いですね〜。一方で確率がないですね。

東大文類はここ数年は簡単な問題が続いていて、合格者の中には満点の人も結構いますよね。(理系の中にも最近は一定数いますが)2018年もその傾向ブレず、基本〜標準くらいの良い感じの問題のセットになっていますね。とはいえ、実際の試験場では難易度2段階くらい上がりますから、注意して普段の演習では確実に取っておきたいセットになっているのではないかと思いました。

 

第1問を考えてみる

それでは順番に見ていきましょう。

座標平面上に放物線 \displaystyle C

\displaystyle y = x^2 - 3x + 4

で定め、領域 \displaystyle D

\displaystyle y \geq x^2 - 3x + 4

で定める。原点を通る2直線 \displaystyle l, m\displaystyle C に接するものとする。

(1) 放物線 \displaystyle C 上を動く点 \displaystyle A と直線 \displaystyle l, m の距離をそれぞれ \displaystyle L, M とする。\displaystyle \sqrt{L} + \sqrt{M} が最小値をとるときの点 \displaystyle A の座標を求めよ。

(2) 次の条件を満たす点 \displaystyle P(p, q) の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

条件:領域 \displaystyle D のすべての点 \displaystyle (x, y) に対し、不等式 \displaystyle px + qy \leq 0 がなりたつ。

領域の問題です。

 

領域ニガテ〜イヤだやりたくない〜〜

っていう東大文類志望がいたら結構致命的なのでしっかり学習しておきましょう。

『入試数学の掌握』という参考書があるのですが、その通過領域のパートをやると、体系的に通過領域の分野を理解することができて、ある程度やらねばならないことが見えてくるかなと思います。個人的に通過領域の分野はこの参考書にかなり助けられたのでオススメしときますね。

 

基本的な点と直線の公式とか絶対値処理とか問題なくできれば大丈夫かと。(1)とかは折れ線のグラフをイメージできると視覚的にも理解できてて問題なしです!

(2)は積の和を内積と見ることができれば直感的に答えが出せます。以前チラッと触れたのは覚えていますでしょうかね。

数学問題002 多変数のみかた

 

予備校解答例↓

https://sokuho.yozemi.ac.jp/sokuho/k_mondaitokaitou/1/kaitou/img/tokyo_zenki_sugaku_bun_kai.pdf

 

 

第2問を考えてみる

数列 \displaystyle a_1 , a_2 , ......

\displaystyle a_n = \frac{ { }_{2n} C _n }{ n! }  (n = 1, 2, ......)

で定める。

(1) \displaystyle a_7 と1の大小を調べよ。

(2) \displaystyle n \geq 2 とする。\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}} < 1 を満たすnの範囲を求めよ。

(3) \displaystyle a_n が整数となる \displaystyle n \geq 1 をすべて求めよ。

なんかぱっと見が難しそうな数列の問題のような気がしますが、nCrの形はちょっと見えずらいので丁寧に書き下してあげるとすぐに道筋が見えてくるかと思います。難しくはないです。

「『 \displaystyle a_n が増加数列であるから…』みたいな絞り込みの方法は、連続関数の場合と似てるよね〜〜」ってことは、「(2)で扱った \displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}} の1との大小関係を調べることって、意味的には微分に似てるんだな〜〜」みたいなところまで理解できてれば文句なしだと思います。

数列とか整数みたいな問題は最終的にはしらみつぶしになることが少なくないので、めんどくさがらず丁寧にやる癖をつけましょう。

 

予備校解答例↓

https://sokuho.yozemi.ac.jp/sokuho/k_mondaitokaitou/1/kaitou/img/tokyo_zenki_sugaku_bun_kai.pdf

 

第3問を考えてみる

\displaystyle a > 0 とし、

\displaystyle f(x) = x^3 - 3a^2 x

とおく。

(1) \displaystyle x \geq 1 \displaystyle f(x) が単調に増加するための、\displaystyle a についての条件を求めよ。

(2) 次の2条件を満たす点 \displaystyle (a, b) の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

条件1:方程式 \displaystyle f(x) = b は相異なる3実数解をもつ。

条件2:さらに、方程式 \displaystyle f(x) = b の解を \displaystyle \alpha < \beta < \gamma とすると \displaystyle \beta > 1 である。

標準的な3次方程式がらみの通過領域の問題ですね。

3次方程式で解が絡んでくる場合は、KKK(解と係数の関係)が使えない場合はグラフで丁寧に考えるしかないと思います。

グラフはまじで有能なので、分からなくなったらとりあえず書いてみて観察してみると意外と頭の中がスッキリすることが多いです。

メモ

とりあえず詰まったらグラフや図を書いて視覚的に捉えてみよう

僕はセンターなどでも関数が出てきたときは視覚的に直感的にミスってないかを確認するためにグラフの概形をささっと書きます。

 

予備校解答例↓

https://sokuho.yozemi.ac.jp/sokuho/k_mondaitokaitou/1/kaitou/img/tokyo_zenki_sugaku_bun_kai.pdf

 

第4問を考えてみる

放物線 \displaystyle y = x^2 のうち \displaystyle -1 \geq x \geq 1 を満たす部分を \displaystyle C とする。座標平面上の原点 \displaystyle O と点 \displaystyle A(1, 0) を考える。

(1) 点 \displaystyle P が \displaystyle C 上を動くとき、

\displaystyle \overrightarrow{OQ} = 2 \overrightarrow{OP}

を満たす点 \displaystyle Q の軌跡を求めよ。

(2) 点 \displaystyle P が \displaystyle C 上を動き、点 \displaystyle R が線分 \displaystyle OA 上を動くとき、

\displaystyle \overrightarrow{OS} = 2 \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OR}

を満たす点 \displaystyle S が動く領域を座標平面上に図示し、その面積を求めよ。

ベクトルをしっかり理解してればこれも全然難しくないと思います。やってることは、原点中心に相似拡大して、軸方向に平行移動してるだけ。

 

(2)は(1)を利用するということ、点 \displaystyle R が単純な直線的な動きしかしないことから、図形的に考えると平行移動でさらっとイメージできることがわかると思います。

人間は複雑な動きが複数あると変数を固定して複雑な動きを1つにするまで規則性を見出しにくいのですが、このような単純な動きの2つ3つ程度の組み合わせは頭の中でイメージできることが多いです。

図形的なアプローチは問題を解く上で計算を軽くするために非常に有効なので、常に手札に持っておくことをお勧めします。

 

最後の面積計算は対称性を利用したり、単純な図形に分割したりして計算楽にしましょう。

 

予備校解答例↓

https://sokuho.yozemi.ac.jp/sokuho/k_mondaitokaitou/1/kaitou/img/tokyo_zenki_sugaku_bun_kai.pdf

 

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