早稲田教育 2018数学第3問

こんにちは、理系東大生ブロガーのサトゥーです。

最近、入試の解答作成バイトに備えて入試問題を解いています。

今年は二次曲線のヤラシイ出題が随分多い印象ですね。

今日はtwitterでふらっと見かけた早稲田教育の問題が、

なんとなく面白そうな気がしたので解いてみました。

寝起きの頭の体操がてら。

問題はこちら。(最近TeXの文章書くの練習中)

問題

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複素数?極限?なんかぱっと見できそうだけど、

数秒後に「あ、これなんかやだな」ってなりそうな問題ですね。

でも、実際に気づいちゃうと別に大したことないのかな。

まぁこの問題、

少し大学で習うような数学をかじっとけば簡単な問題になるんですね。

それは後ほど説明するとして。

ここは大学受験生らしく、

高校数学をフルに活用して解こうと思います。多分。

解答してみるよ

結局、

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っていう複素数をどうやって扱うかっていう話になってきます。

虚数単位iがうざったいから、

思ったようにスラスラ式変形できるワケでもなさそうだし…

複素数は平面上に表すと図形的考察ができます。

そこからなんとか形を見出せないか?

考えてみましょう。

n乗した形をいきなり平面上に表すのは難しいので、

まずは簡単な中身の部分の、

n=1から順番に表してみましょう。

すると…

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右のような直角三角形が現れます。

これこそが「図形的考察」です。

つまり、ここまでの発見をまとめると…

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このようになり、結果として

斜辺の長さに関して

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という式が得られます。

これが得られれば(1)は終わったようなものです。

よくあるeの極限の形(問題文に与えられてるし!)を使って

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とすればOK。答えは多分1です。

さて、次は(2)です。

絶対値がわかったので、偏角をおいて処理できちゃえばラクですね。

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さて、ここからは角度を評価して「はさみうちの不等式」を作り出す作業です。*1

数Ⅲにある程度馴染んでいる方にはおなじみのアレを使います。*2

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これはsinxがらみの極限の公式証明の時に、教科書に出てきますよね?

グラフからすぐに分かるし、まぁ分かんなかったら教科書みたいに三角とか扇型とかで面積比較しましょう。

さて、これがわかればもう終わりです。

nが自然数であるという条件から、鋭角であるということも分かりますから、

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こうなって偏角が分かりますから、以上から

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となり、答えが得られるワケです。

振り返ってみると

さて、

複素数を図形的に捉えるという発想と、評価の発想が必要な問題で、

ある程度数Ⅲに習熟していないと厳しい問題だったかもしれませんが、

決して難しいという問題ではありませんでした。

ここからは冒頭で述べた、

大学で習う数学を使うと簡単という話をちょっとだけします。

オイラーの公式っていう有名な公式があります。

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詳しくはこちら

オイラーの公式 – Wikipedia

これのθ=1が背景にあるという話でした。

これと、テイラー展開の考え方を使うと、

(2)の解答の流れとしては次のようになるんですね。

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まぁ、うざったい評価の不等式とか、そういうの考えなくてもいいワケです。

以上。もう少し入試数学の問題解くか….ネタになりそうなやつ…

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*1:

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*2:ちなみにこの不等式と似た不等式として、

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こんなのもあります。証明はみなさんにお任せします。まぁほとんど使う機会ないと思います。

 

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