三角関数の重要事項についてまとめたよ。【高校数学】【大学受験】

どうも、今日も理系東大生らしい記事をお送りします。

大学のテストも終わり、少し暇だったので

高校数学の三角関数について整理してみたよ。

(一通り学習した人の復習用です。)

f:id:bighope-lumiere0916:20180130190845p:plain

おさえておきたい事を6つのトピックにまとめたので、基本から応用まで入試前にしっかり確認していってください〜

1.加法定理について(文・理)

f:id:bighope-lumiere0916:20180203120542p:plain

加法定理については受験においては暗記するのが一番ですね。ぶっちゃけ。

\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}

\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}

忘れがちな方はおそらく演習して使っていくうちに自然と頭に入ってくると思うのですが、よくある有名な図について、ここ載せておくのでセットで頭に入れてみてください。

試験本番で加法定理が何かど忘れする可能性もありますしね。

語呂合わせは自分でggってくれればきっと出てくると思います。

僕は”幸子小林小林幸子“で覚えてました

1′.三角関数の基本性質(文・理)

2.に行く前に、sin,cos,tanの間に成り立つ基本的な関係式も確認しておきましょう。

f:id:bighope-lumiere0916:20180203120559p:plain

\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1

1+\tan^2{\theta}=\frac{1}{\cos^2{\theta}}

なんかcos~tanの関係式しらねぇっていう人いますが、

これsin~cosの関係式からすぐにわかりますからね。(詳しくは画像を参照)

皆さんはこれを利用して

sin~cosの変換

cos~tanの変換

が自由に行えないとダメですよ。

2.合成(文・理)

三角関数の合成をなんか難しく捉えてしまっている方は意外と多いのですが、

これってやってること加法定理の逆ですからね。

f:id:bighope-lumiere0916:20180203120618p:plain

それだけ押さえておけば特に覚えることもなくできると思いますよ。

画像にはないですがcos合成も同様にできます。

3.角度パラメタの処理(応用)(文・理)

f:id:bighope-lumiere0916:20180203120638p:plain

ここからほんの少しだけ受験っぽくなります。

よく図形量の計算問題で、角度を変数に置くような場面ってありますよね。

長さを変数に置くべきか、角度を変数に置くべきか…

例えばこういう問題。まぁまぁ手応えありますから、ぜひ解いてみてください。

—–

f:id:bighope-lumiere0916:20180130182006p:plain

先に答えだけ言っておきますが、これはパラメタtにとらわれずに新しい角度変数を持ってきた方が楽です。これは図形の定まり方を考えればわかる話で、この問題で重要となるのはy軸と接線のなす角です。

例えばこれを2\thetaとでもおけば、

あとは簡単に\frac{r}{R}\tan^2{\theta} となって、(1)は0<\frac{r}{R}<1、その感じで(2)はP(\frac{\sqrt{2}}{8},\frac{1}{32})となりますね。

まぁこの問題はこの辺で置いといて。

—–

もし角度を変数におけるなら、

そういう時、三角関数を積極的に利用して角度変数を利用した方が計算が楽になることが多いです。

少なくとも忌まわしいルートが出てこないので気持ちが楽です。

三角関数微分する方がルート微分するより気楽でしょう?

困った時は角をパラメタに!と覚えておきましょう。

4.和積・積和の公式(文・理)

これは卑猥な語呂合わせがありますね。僕もそれで覚えておりましたが。

f:id:bighope-lumiere0916:20180203120655p:plain

暗記する人は

  1. いつでも加法定理からすぐに導けるようになっておくこと
  2. 係数と符号に注意すること

の2点は頭にとどめておきたいです。

数3ではこれはよく出てくるので(意外と入試で使う機会少なくない

理系は覚えておいても損はない。

すぐ導けるから覚えなくていいと思いますが。

5.三角関数の置換(文・理)

f:id:bighope-lumiere0916:20180203120723p:plain

三角関数で置換するパターンは大きく4つ。

  1. 丸ごと
  2. 対称式
  3. 単位円の利用
  4. tan(θ/2)=t

4番は高校数学ではあまり出てこないような気はしますが、

三角関数の有理関数の積分は、この置換をすればできることは知っておいてもいいかもしれません(しばしば計算地獄に陥ります)

また、これは置換一般に言えることですが、

置き換えたら、範囲の確認を忘れないこと。

例えば、t=sinθはどう考えても-2にはならないわけですね。

6.微積分について(理)

sin,cosは微分すると位相がπ/2進みます

f:id:bighope-lumiere0916:20180203120742p:plain

これ重要。

例えば電磁気の交流の分野なんかで非常に使える知識ですよね。

三角関数の微積分に関しては、練習問題的なの貼っときます。

左に問題、右に解答。

f:id:bighope-lumiere0916:20180203121028p:plain

こういう基本的なところで間違えないようにね。

以上で終わりです。

最後に、三角関数がらみの面白い本の紹介。

わかる人にはわかる、「丸い三角関数」の意味。

わかりやすくて面白い本なので、数学嫌いでも楽しめます!

三角関数と仲良くなりたい方はぜひ読んでみましょう。

それでは今日もポチッとよろしくね。


東大生ブログランキング

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)