2020 東大理系数学 第1問

第1問の解説をやってみようと思います。

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サトゥー

エレガントな解法の類はやりません。あくまで、試験場で自分が解くとしたらどう考えるかな〜という観点で見ていますのでよろしくです

\(a, b, c, p\) を実数とする。不等式

$$ ax^2 + bx + c > 0 \\ bx^2 + cx + a > 0 \\ cx^2 + ax + b > 0 $$

をすべて満たす実数 \(x\) の集合と、 \(x > p\) を満たす実数 \(x\) の集合が一致しているとする。

(1) \(a, b, c\) はすべて \(0\) 以上であることを示せ。

(2) \(a, b, c\) のうち少なくとも1個は \(0\) であることを示せ。

(3) \(p = 0\) であることを示せ。

東京大学 2020 理系

解いてみた感想

数式を、グラフを使ってビジュアル的に解釈することができればそこまで難しい問題ではありませんね。完答を狙いたいですね。

(1) a < 0 と仮定して矛盾を導く

\(a, b, c\) に対称性があるので、とりあえず (1) では \(a\) について示すことができれば、同様に示すことができそうです。そこでまずは \(a < 0\) と仮定しておかしなところができないかを調べてみます。

\(a < 0\) のとき、 \(ax^2 + bx + c > 0\) の左辺の式は、上に凸の放物線と見ることができますね。では、上に凸の放物線と \(x\) 軸の関係から、この不等式 \(ax^2 + bx + c > 0\) を満たす \(x\) の形を考えてみます。

すると次の 2 通りの形があることが分かります。

前者の場合、すべての実数 \(x\) に対して \(ax^2 + bx + c > 0\) が成立しないので、これを満たす \(x\) はないと。つまり与えられた 3 つの不等式を満たす \(x\) が存在しないことになってしまいます。よって当然 \(x > p\) の形になることもありえません。これは誤り。

後者の場合、不等式 \(ax^2 + bx + c > 0\) を満たす \(x\) は \(\alpha < x < \beta\) の形をしていることがわかります。この場合は、与えられた 3 つの不等式を満たす \(x\) の区間は、少なくとも区間 \(\alpha < x < \beta\) 内に含まれると言えます。が、区間 \(x > p\) は上に限りなく広がっている区間なので、区間 \(\alpha < x < \beta\) 内には含まれません。よってこれも誤り。

ということは、そもそも \(a < 0\) の仮定が間違っていると結論づけることができますね。

よって \(a \geq 0\) で、\(a, b, c\) の対称性から \(b, c\) の場合も同様に示せます。めでたしめでたし。

(2) すべて正と仮定して矛盾を導く

(1) の議論から、「 \(a, b, c\) がすべて 0 でない」ならば、 \(a, b, c\) はすべて正となります。このとき、与えられた 3 つの不等式の左辺は、それぞれが下に凸の放物線を表していると解釈することができますね。

下に凸な放物線が3つあるとき、この連立不等式の解がどのような形をしているかを考えてみます。(1) 同様に、放物線と \(x\) 軸の関係を考えてみますと、限りなく小さな値が解になりうることがわかります。

実際、

$$ \lim_{x \to – \infty} ax^2 + bx + c = \infty \\ \lim_{x \to – \infty} bx^2 + cx + a = \infty \\ \lim_{x \to – \infty} cx^2 + ax + b = \infty$$

ですから、 \(p\) より小さな値 \(x_0\) をとってあげると、 \(x = x_0 < p\) は連立不等式の解になり、矛盾が導けます。

よって、「 \(a, b, c\) のいずれも 0 ではない」という仮定が誤りといえ、結果として「 \(a, b, c\) の少なくとも 1 つは 0 である」と結論づけることができます。

(3) これまでの結論からしらみつぶし

とりあえず (2) までの議論で少なくとも 1 つが 0 だと分かっているので、 \(a=0\) としてみましょう。(対称性からこの場合を考えれば十分)

このとき、3 つの不等式は

$$ bx + c > 0 \\ bx^2 + cx > 0 \\ cx^2 + b > 0 $$

となります。ここで、まずは \(b = 0\) の場合を考えてみます。

\(b = 0\) のとき、

$$ c > 0 \\ cx > 0 \\ cx^2 > 0 $$

となりますから、これは \(x > 0\) で成り立つといえますね。( \(x > p\) の形になっていることも確認)

次に \(b > 0\) のときを考えます( \(b < 0\) は (1) でありえないことを示した)。

このとき不等式を解くと

$$ x > – \frac{c}{b} \\ x < – \frac{c}{b} , 0 < x $$

より \(x > 0\) となります。

以上の議論から、結局、問題の条件を満たすような \(p\) は \(p = 0\) であることが分かりました。

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