2020 東大理系数学 第3問

第3問の解説をやってみようと思います。

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サトゥー

エレガントな解法の類はやりません。あくまで、試験場で自分が解くとしたらどう考えるかな〜という観点で見ていますのでよろしくです

\(-1 \leq t \leq 1\) を満たす実数 \(t\) に対して、

\begin{align*}
x(t) = (1 + t) \sqrt{1+t} \\ y(t) = 3(1 + t) \sqrt{1 – t}
\end{align*}

とする。座標平面上の点 \(\mathrm{P}(x(t), y(t))\) を考える。

(1) \(-1 < t \leq 1\) における \(t\) の関数 \(\frac{y(t)}{x(t)}\) は単調に減少することを示せ。

(2) 原点と \(\mathrm{P}\) の距離を \(f(t)\) とする。 \(-1 \leq t \leq 1\) における \(t\) の関数 \(f(t)\) の増減を調べ、最大値を求めよ。

(3) \(t\) が \(-1 \leq t \leq 1\) を動くときの \(\mathrm{P}\) の軌跡を \(C\) とし、 \(C\) と \(x\) 軸で囲まれた領域を \(D\) とする。原点を中心として \(D\) を時計回りに 90° 回転させるとき、 \(D\) が通過する領域の面積を求めよ。

東京大学 2020 理系

解いてみた感想

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サトゥー

個人的には 2020 年の問題の中で一番解き切りやすい問題かなと思います。丁寧に、確実に取りきりたいですね。

(1) はすぐできるよね…

\begin{align*}
\frac{y(t)}{x(t)} = 3 \sqrt{\frac{1-t}{1+t}}
\end{align*}

になるので、\(-1 < t \leq 1\) において \(t\) を大きくすれば分母の \(1+t\) が増加、分子の \(1-t\) が減少するので、結果として \(\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}\) が全体として減少すると言えますね。時間に余裕があれば微分して丁寧に示したほうがいいだろうけどね。まぁこんなんでイイでしょう。

(2) 普通の微分計算。計算ミスに注意。

普通に微分するだけ。計算ミスの無いように注意!(簡単な計算なので 2 回くらいやっておくとミスが減ると思います)

\begin{align*}
f(t) = \sqrt{x^2 + y^2} = (1 + t) \sqrt{10 – 8t}
\end{align*}

より

\begin{align*}
\frac{d}{dt} f(t) = \frac{6 – 12 t}{\sqrt{10 – 8t}}
\end{align*}

よって \(-1 \leq t \leq 1\) における \(f(t)\) の挙動については、

  • \(-1 \leq t < \frac{1}{2}\) で増加
  • \(\frac{1}{2} < t \leq 1\) で減少

となるので、 \(t = \frac{1}{2}\) で最大値 \(\frac{3}{2} \sqrt{6}\) をとります。

(3) 回転体なので概形を掴んで追いかけましょう

まずは点 \(\mathrm{P}\) の動きを追いかけて \(C\) の概形を掴んでみます。すると、ざっくり次のような図形が得られます(どうせ回転するので概形で十分)

\(t = \frac{1}{2}\) で原点からの距離が最大になります

こうして得られる \(D\) を 90° 回転してみると、次のような図形が得られ、結果的に四分円と \(D\) を 2 分割したもの組み合わせた形になることが分かります。この四分円の半径は、原点からの距離が最も大きい点に対応しているので、(2) で求めたやつですね。

赤(四分円)と青(\(D\))を組み合わせたものと見ることができる

ということで、求める面積は、(半径 \(\frac{3}{2} \sqrt{6}\) の四分円)+ \(D\) となります。四分円の面積は \(\pi {(\frac{3}{2} \sqrt{6})}^2 \frac{1}{4} = \frac{27}{8} \pi\) となり、 \(D\) の面積は、

\begin{align*}
& \int_0^{2\sqrt{2}} y dx \\
& = \int_{-1}^{1} 3(1+t) \sqrt{1-t} \frac{3}{2} \sqrt{1+t} dt \\
& = \frac{9}{4} \pi
\end{align*}

よって答えは \(\frac{45}{8} \pi\) となります。基本的な積分計算なので落としたくはないですね。

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