2020 東大理系数学 第5問

第5問の解説をやってみようと思います。

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サトゥー

エレガントな解法の類はやりません。あくまで、試験場で自分が解くとしたらどう考えるかな〜という観点で見ていますのでよろしくです

座標空間において、 \(xy\) 平面上の原点を中心とする半径 \(1\) の円を考える。この円を底面とし、点 \((0, 0, 2)\) を頂点とする円錐(内部を含む)を \(S\) とする。また、点 \(\mathrm{A} (1, 0, 2)\) を考える。

(1) 点 \(\mathrm{P}\) が \(S\) の底面を動くとき、線分 \(\mathrm{AP}\) が通過する部分を \(T\) とする。平面 \(z = 1\) による \(S\) の切り口および、平面 \(z = 1\) による \(T\) の切り口を同一平面上に図示せよ。

(2) 点 \(\mathrm{P}\) が \(S\) を動くとき、線分 \(\mathrm{AP}\) が通過する部分の体積を求めよ。

東京大学 2020 理系

解いてみた感想

標準的で入試だと差がつくんじゃないかな〜と思います。丁寧にパラメータおいて、断面を追いかけていくだけですが、どれだけ丁寧に追いきれるかがポイントになってくる気がします。面倒ですが、差がつくという観点では好きなタイプの入試問題ですね。努力が確実に報われるというか、変な思いつきも不要ですから。

(1) パラメータおいてベクトルでドカンと

\(\mathrm{P}(r \cos{\theta}, r \sin{\theta}, 0)\) とおいてみます。(ただし \( 0 \leq r \leq 1\) , \(0 \leq \theta < 2 \pi\) )

S の断面を考える

正直 S の断面は円錐の底面に平行な平面なので、相似で考えれば円になることはイメージできるのですが…せっかくなので丁寧にやっておきましょうか。

円錐の頂点と底面を結ぶ線分上の任意の点 \(\mathrm{X}\) は、実数パラメータ \(s\) を用いて次のように表せます。(ただし \(0 \leq s \leq 1\) )

$$\overrightarrow{\mathrm{OX}} = \left( \begin{array}{cc} 0\\ 0\\ 2\\ \end{array} \right) + s \left( \begin{array}{cc} r \cos{\theta}\\ r \sin{\theta}\\ -2\\ \end{array} \right) \\ = \left( \begin{array}{cc} s r \cos{\theta}\\ s r \sin{\theta}\\ 2 -2 s\\ \end{array} \right) $$

円錐 \(S\) は、このように求めた点 \(\mathrm{X}\) の \(0 \leq s \leq 1\) における通過部分と解釈することができます。

平面 \(z = 1\) による切り口を聞かれているので、この点 \(\mathrm{Y}\) で \(z = 1\) としたときのパラメータ \(s\) の値を求めればなんとかなりそうです。

実際に計算してみると、

$$ 2 – 2s = 1 \Leftrightarrow s = \frac{1}{2} $$

ですから、このとき

$$ \overrightarrow{\mathrm{OX}} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} r \cos{\theta} \\ \frac{1}{2} r \sin{\theta}\\ 1\\ \end{array} \right) $$

となり、これは平面 \(z = 1\) 上の円

$$ x^2 + y^2 = { \left( \frac{r}{2} \right) }^2$$

を表します。よって、 \(r\) を \(0 \leq r \leq 1\) で動かせば、求める切り口は中心 \((0, 0, 1)\) で半径 \(\frac{1}{2}\) の円の周及び内部となります。

T の断面を考える

いよいよ \(T\) の断面を考えます。

直線 \(\mathrm{AP}\) 上の任意の点 \(\mathrm{Y}\) は実数パラメータ \(t\) を用いて

\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm{OY}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \overrightarrow{\mathrm{AP}} = \left( \begin{array}{cc} 1\\ 0\\ 2\\ \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{cc} r \cos{\theta} – 1\\ r \sin{\theta}\\ -2\\ \end{array} \right) \\ = \left( \begin{array}{cc} 1 + t(r \cos{\theta} – 1)\\ t r \sin{\theta}\\ 2 -2 t\\ \end{array} \right)
\end{align*}

線分 \(\mathrm{AP}\) が通過する部分は、このように求めた点 \(\mathrm{Y}\) の \(0 \leq t \leq 1\) における通過部分と解釈することができます。

あとは同様に、

$$ 2 – 2t = 1 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} $$

ですから、このとき

$$ \overrightarrow{\mathrm{OY}} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} r \cos{\theta} + \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} r \sin{\theta}\\ 1\\ \end{array} \right) $$

となり、これは平面 \(z = 1\) 上の円

$$ { \left( x-\frac{1}{2} \right) }^2 + y^2 = { \left( \frac{r}{2} \right) }^2$$

を表します。よって、 \(r\) を \(0 \leq r \leq 1\) で動かせば、求める切り口は次のようになります。( \(S\) も一緒に図示します)

(2) 丁寧に断面を求めよう

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それでは (2) に進みます。これは (1) が誘導になっていて、まぁやってみましょうか。

とりあえず誘導におとなしく乗れば、 \(z = k\) \((0 \leq k \leq 2)\) での断面を考えればよさそうな気がしますね。では、この断面と先ほど考えた線分たちが交点をもつためには、\(\mathrm{P}\) はどのような条件を満たす必要があるでしょうか。

ひとまず \(\mathrm{P}\) の \(z\) 座標を \(l\) とすると、\(\mathrm{P} (r \cos{\theta}, r \sin{\theta}, l)\) と表現できます。(ただし \( 0 \leq r \leq \frac{2-l}{2}\) , \(0 \leq \theta < 2 \pi\) )

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\( 0 \leq r \leq \frac{2-l}{2}\) は、円錐の \(z = l\) での断面の半径が \(\frac{2-l}{2}\) になることからわかります

このとき、先ほどの交点をもつ条件は \(0 \leq l \leq k\) の場合であると言えますね。

このとき、線分 \(\mathrm{AP}\) 上の任意の点 \(\mathrm{Z}\) は実数パラメータ \(u\) を用いて次のように表せます。

\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm{OZ}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + u \overrightarrow{\mathrm{AP}} = \left( \begin{array}{cc} 1\\ 0\\ 2\\ \end{array} \right) + u \left( \begin{array}{cc} r \cos{\theta} – 1\\ r \sin{\theta}\\ l -2\\ \end{array} \right) \\ = \left( \begin{array}{cc} 1 + u(r \cos{\theta} – 1)\\ u r \sin{\theta}\\ 2 + u (l – 2)\\ \end{array} \right)
\end{align*}

この \(z = k\) でのパラメータ \(u\) の値は

$$ 2 + u (l – 2) = k \Leftrightarrow u = \frac{2 – k}{2 – l} $$

であり、結局

$$ \overrightarrow{\mathrm{OZ}} = \left( \begin{array}{cc} \frac{2 – k}{2 – l} r \cos{\theta} + \frac{k – l}{2 – l}\\ \frac{2 – k}{2 – l} r \sin{\theta}\\ k\\ \end{array} \right) $$

となり、これは平面 \(z = k\) 上の円

$$ { \left( x-\frac{k – l}{2 – l} \right) }^2 + y^2 = { \left( \frac{2 – k}{2 – l} r \right) }^2$$

を表します。よって、 \(r\) を \(0 \leq r \leq \frac{2-l}{2}\) で動かせば、求める切り口は中心 \((\frac{k – l}{2 – l}, 0, k)\) で半径 \(\frac{2 – k}{2}\) の円の周及び内部となります。

最後に、 \(\mathrm{P}\) を条件を満たすように動かします。具体的にはパラメータ \(l\) を \(0 \leq l \leq k\) で動かします。すると、円の中心が

$$ x = \frac{k}{2} \rightarrow x = 0 $$

へとスーッと平行移動していきます。円の半径は変わらないので、結局求める断面は次のようになります。

この図形の断面積は、次の画像のように長方形と円に分けて考えれば簡単に求められますね。

断面積は

$$ (2 – k) \frac{k}{2} + \pi { \left( \frac{2 – k}{2} \right) }^2 $$

になるので、あとは \( 0 \leq k \leq 2\) で積分すれば

\begin{align*}
\int_0^2 \left( (2 – k) \frac{k}{2} + \pi { \left( \frac{2 – k}{2} \right) }^2 \right) dk = \frac{2}{3} (\pi + 1)
\end{align*}

が答えになります。

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